https://artofproblemsolving.com/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Aslan&feedformat=atom AoPS Wiki - User contributions [en] 2021-04-16T02:45:07Z User contributions MediaWiki 1.31.1 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Normal_subgroup&diff=49986 Normal subgroup 2012-12-22T05:32:30Z <p>Aslan: </p> <hr /> <div>A '''normal subgroup''' &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; of a [[group]] &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is a [[subgroup]] of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; for which the relation &quot;&lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;&quot; of &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; is compatible with the law of composition on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, which in this article is written multiplicatively. The [[quotient group]] of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; under this relation is often denoted &lt;math&gt;{\rm G/H}&lt;/math&gt; (said, &quot;&lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; mod &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;&quot;). (Hence the notation &lt;math&gt;\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&lt;/math&gt; for the integers mod &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.)<br /> <br /> <br /> An equivalent definition of normal subgroups is this-<br /> <br /> &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; is said to be a normal subgroup of a group &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; if &lt;math&gt;aNa^{-1}=N&lt;/math&gt;.Note that this means &lt;math&gt;aN=Na&lt;/math&gt; but it does not imply that for every &lt;math&gt;n\in N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;an=na&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Description ==<br /> <br /> From the characterizations of relations compatible with left and right translation (see the article on [[coset]]s), a subgroup &lt;math&gt;\rm H&lt;/math&gt; is normal if and only if &lt;math&gt;x^{-1}y \in \rm H&lt;/math&gt; is equivalent to &lt;math&gt;xy^{-1} \in \rm H&lt;/math&gt;, which is in turn true if and only if &lt;math&gt;x^{-1}y \in \rm H&lt;/math&gt; implies &lt;math&gt;xy^{-1} \in \rm H&lt;/math&gt;, which is in turn equivalent to its converse (by replacing &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y^{-1}&lt;/math&gt;).<br /> <br /> Note that the relation &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt; is compatible with right multiplication for any subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;: for any &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; (xa)(ya)^{-1} = (xa)(a^{-1}y^{-1}) = xy^{-1} \in {\rm H}. &lt;/cmath&gt;<br /> On the other hand, if &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is normal, then the relation must be compatible with left multiplication by any &lt;math&gt;a\in {\rm G}&lt;/math&gt;. This is true if and only &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt; implies<br /> &lt;cmath&gt; axy^{-1}a^{-1} = (ax)(ay)^{-1} \in {\rm H} . &lt;/cmath&gt;<br /> Since any element of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; can be expressed as &lt;math&gt;xy^{-1}&lt;/math&gt;, the statement &quot;&lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;&quot; is equivalent to the following statement:<br /> * For all &lt;math&gt;a\in {\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;g\in {\rm H}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;aga^{-1} \in H&lt;/math&gt;,<br /> which is equivalent to both of the following statements:<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a{\rm H}a^{-1} \subseteq {\rm H}&lt;/math&gt;;<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a {\rm H \subseteq H}a&lt;/math&gt;.<br /> By symmetry, the last condition can be rewritten thus:<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm H}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a {\rm H = H} a&lt;/math&gt;.<br /> Equivalently, one can say that a normal subgroup is one that is stable under all [[inner automorphism]]s.<br /> <br /> The [[intersection]] of a family &lt;math&gt;({\rm G}_i)&lt;/math&gt; of normal subgroups of a group &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. For &lt;math&gt;xy^{-1} \in {{\rm G}_i&lt;/math&gt; (for each &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;) implies &lt;math&gt;x^{-1}y \in {\rm G}_i&lt;/math&gt; (for each &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;); hence &lt;math&gt;xy^{-1} \in \bigcap_i {\rm G}_i&lt;/math&gt; implies &lt;math&gt;x^{-1}y \in \bigcap_i {\rm G}_i&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Examples ==<br /> <br /> In an [[Abelian group]], every subgroup is a normal subgroup. More generally, the [[center]] of every group is a normal subgroup of that group.<br /> <br /> Every group is a normal subgroup of itself. Similarly, the [[trivial group]] is a subgroup of every group.<br /> <br /> Consider the smallest nonabelian group, &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; (the [[symmetric group]] on three elements); call its generators &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;x^3 = y^2 = (xy)^2 =e&lt;/math&gt;, the identity. It has two nontrivial subgroups, the one generated by &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (isomorphic to &lt;math&gt;\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}&lt;/math&gt; and the one generated by &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; (isomorphic to &lt;math&gt;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt;). Of these, the second is normal but the first is not.<br /> <br /> If &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; are groups, and &lt;math&gt;f: {\rm G \to G'}&lt;/math&gt; is a [[homomorphism]] of groups, then the inverse image of the identity of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, called the ''[[kernel]]'' of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; and denoted &lt;math&gt;\text{Ker}(f)&lt;/math&gt;, is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; (see the proof of theorem 1 below). In fact, this is a characterization of normal subgroups, for if &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, the kernel of the canonical homomorphism &lt;math&gt;f:{\rm G \to G/H}&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Note that if &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is not necessarily a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Every [[characteristic subgroup]] of &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Group homomorphism theorems ==<br /> <br /> '''Theorem 1.''' An equivalence relation &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; on elements of a group &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is compatible with the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; if and only if it is equivalent to a relation of the form &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;, for some normal subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' One direction of the theorem follows from our definition, so we prove the other, namely, that any relation &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; compatible with the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is of the form &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;, for a normal subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> To this end, let &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be the set of elements equivalent to the identity, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, under &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;. Evidently, if &lt;math&gt;x \equiv y \pmod{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;xy^{-1} \equiv e \pmod{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;; the converse holds as well, so &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; is equivalent to the statement &quot;&lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;&quot;. Also, for any &lt;math&gt;x,y \in {\rm H}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; xy \equiv ee \equiv e \pmod{\mathcal{R}}, &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;xy \in {\rm H}&lt;/math&gt;. Thus &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is closed under the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Then by definition, &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Theorem 2.''' Let &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be two groups; let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be a group homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; be the kernel of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.<br /> * If &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then the inverse image &lt;math&gt;f^{-1}({\rm H) = G'}&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;; if &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then its inverse image is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Consequently, &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, and of this inverse image. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is [[surjective]], then &lt;math&gt;f({\rm G'}) = {\rm H'}&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; induces an isomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'/N}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;<br /> * If &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;; if &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f({\rm G})&lt;/math&gt;. In particular, if &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;. The inverse image of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;\rm G'N = NG'&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' For the first part, suppose &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;f(ab) = f(a)f(b) \in {\rm H}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;ab&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Hence &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then for all &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and all &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; f(a)f(b)f(a)^{-1} \in {\rm H'}, &lt;/cmath&gt;<br /> so<br /> &lt;cmath&gt; aba^{-1} \in f^{-1}(\rm H') = G'; &lt;/cmath&gt;<br /> thus &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Applying this result to the trivial subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, we prove that &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;; since the trivial subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is also a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is also a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then by definition &lt;math&gt;f(\rm G') = H'&lt;/math&gt;. Also, if &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; which are congruent mod &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f(ab^{-1}) = f(e)&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f(a) = f(b)&lt;/math&gt;. Thus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; induces an isomorphism from &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm H'&lt;/math&gt; which is evidently a homomorphism; hence, an isomorphism. This proves the first part of the theorem.<br /> <br /> For the second part, suppose that &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Then<br /> &lt;cmath&gt; f(a)f(b) = f(ab) \in f({\rm G'}) \subseteq f(\rm G) \subseteq H, &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; and of &lt;math&gt;f({\rm G})&lt;/math&gt;. Suppose &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; is any element of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then<br /> &lt;cmath&gt; f(x)f(a)f(x)^{-1} = f(xax^{-1}) \in f(\rm G') , &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;f( \rm G')&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f(\rm G)&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then &lt;math&gt;f(\rm G)= H&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Finally, suppose that &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;f({\rm G'}&lt;/math&gt;. Then for some &lt;math&gt;b \in \rm G'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(a) = f(b)&lt;/math&gt;. Hence<br /> &lt;cmath&gt; f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = f(e). &lt;/cmath&gt;<br /> Then &lt;math&gt;ab^{-1} = n&lt;/math&gt;, for some &lt;math&gt;n\in \rm N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;a= bn \in \rm G'N = NG'&lt;/math&gt;. This finishes the proof of the second part of the theorem. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 3.''' Let &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be groups; let &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm L}&lt;/math&gt; a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be a group homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; the kernel of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;{\rm LN}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\rm L \cdot (G' \cap N)&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f({\rm L})&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt;; furthermore, the quotient groups &lt;math&gt;\rm G'N/LN&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\rm G'/L\cdot (G' \cap N)&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' By theorem 2, &lt;math&gt;f({\rm L})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;\iota&lt;/math&gt; be the canonical homomorphism of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; into &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt;; let &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; be the restriction of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;g = \iota \circ f'&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'N}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt;, and its kernel is &lt;math&gt;{\rm LN}&lt;/math&gt;. Furthermore, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; induces a surjective homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({{\rm L})&lt;/math&gt;; the kernel of this homomorphism is &lt;math&gt;{\rm L \cdot (G' \cap N)}&lt;/math&gt;. The corollary then follows from theorem 2. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> For the following three corollaries, &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; will denote a group, and &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; the canonical homomorphism from &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;.<br /> <br /> '''Corollary 4.''' The mapping &lt;math&gt;f: \rm G' \mapsto G'/N&lt;/math&gt; is a bijection from the set of subgroups of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; that contain &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; to the set of subgroups of &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' Evidently, if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;\rm H&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\lambda^{-1}(\rm H)&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective. Finally, since &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is the kernel of &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(\lambda^{-1} \circ \lambda)(\rm G') = G'N = G'&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is injective. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 5.''' Let &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;; in this case, the groups &lt;math&gt;\rm G/G'&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' Note that &lt;math&gt;(\lambda^{-1} \circ \lambda)(\rm G') = G'N = G'&lt;/math&gt;. Then by theorem 2, if &lt;math&gt;\lambda(\rm G')=G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\lamda(\rm G) = G/N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Conversely, since &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; is surjective, if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\lambda(\rm G') = G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt;. Now, suppose that &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be the canonical homomorphism of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt; onto &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt;. Evidently &lt;math&gt;f \circ \lambda&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt;, and the kernel of &lt;math&gt;f \circ \lambda&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt;. Then by theorem 2, &lt;math&gt;\rm G/G&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt; are isomorphic. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 6.''' Let &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; of which &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is a normal subgroup, and the groups &lt;math&gt;\rm G'/(G' \cap N)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' By theorem 2, &lt;math&gt;\rm G'N = NG'&lt;/math&gt; is the inverse image of the image of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;; hence it is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; in which &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is evidently normal. Let &lt;math&gt;\iota&lt;/math&gt; be the canonical injection of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; into &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;\lambda'&lt;/math&gt; be the restriction of &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\lambda' \circ \iota&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt;, and its kernel is &lt;math&gt;\rm (G' \cap N)&lt;/math&gt;. Hence &lt;math&gt;\rm G'/(G' \cap N)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt; are isomorphic, as desired. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> == See also ==<br /> <br /> * [[Characteristic subgroup]]<br /> * [[Quotient group]]<br /> * [[Coset]]<br /> * [[Zassenhaus's Lemma]]<br /> * [[Schreier's Theorem]]<br /> * [[Jordan-Hölder Theorem]]<br /> <br /> <br /> [[Category:Group theory]]</div> Aslan https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Normal_subgroup&diff=49985 Normal subgroup 2012-12-22T05:29:39Z <p>Aslan: </p> <hr /> <div>A '''normal subgroup''' &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; of a [[group]] &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is a [[subgroup]] of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; for which the relation &quot;&lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;&quot; of &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; is compatible with the law of composition on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, which in this article is written multiplicatively. The [[quotient group]] of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; under this relation is often denoted &lt;math&gt;{\rm G/H}&lt;/math&gt; (said, &quot;&lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; mod &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;&quot;). (Hence the notation &lt;math&gt;\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}&lt;/math&gt; for the integers mod &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.)<br /> <br /> An equivalent definition of normal subgroups is :<br /> <br /> &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; is said to be a normal subgroup of a group &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; if &lt;math&gt;aNa^{-1}=N&lt;/math&gt;.Note that this means &lt;math&gt;aN=Na&lt;/math&gt; but it does not imply that for every &lt;math&gt;n\in N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;an=na&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Description ==<br /> <br /> From the characterizations of relations compatible with left and right translation (see the article on [[coset]]s), a subgroup &lt;math&gt;\rm H&lt;/math&gt; is normal if and only if &lt;math&gt;x^{-1}y \in \rm H&lt;/math&gt; is equivalent to &lt;math&gt;xy^{-1} \in \rm H&lt;/math&gt;, which is in turn true if and only if &lt;math&gt;x^{-1}y \in \rm H&lt;/math&gt; implies &lt;math&gt;xy^{-1} \in \rm H&lt;/math&gt;, which is in turn equivalent to its converse (by replacing &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y^{-1}&lt;/math&gt;).<br /> <br /> Note that the relation &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt; is compatible with right multiplication for any subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;: for any &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; (xa)(ya)^{-1} = (xa)(a^{-1}y^{-1}) = xy^{-1} \in {\rm H}. &lt;/cmath&gt;<br /> On the other hand, if &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is normal, then the relation must be compatible with left multiplication by any &lt;math&gt;a\in {\rm G}&lt;/math&gt;. This is true if and only &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt; implies<br /> &lt;cmath&gt; axy^{-1}a^{-1} = (ax)(ay)^{-1} \in {\rm H} . &lt;/cmath&gt;<br /> Since any element of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; can be expressed as &lt;math&gt;xy^{-1}&lt;/math&gt;, the statement &quot;&lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;&quot; is equivalent to the following statement:<br /> * For all &lt;math&gt;a\in {\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;g\in {\rm H}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;aga^{-1} \in H&lt;/math&gt;,<br /> which is equivalent to both of the following statements:<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a{\rm H}a^{-1} \subseteq {\rm H}&lt;/math&gt;;<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a {\rm H \subseteq H}a&lt;/math&gt;.<br /> By symmetry, the last condition can be rewritten thus:<br /> * For all &lt;math&gt;a \in {\rm H}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a {\rm H = H} a&lt;/math&gt;.<br /> Equivalently, one can say that a normal subgroup is one that is stable under all [[inner automorphism]]s.<br /> <br /> The [[intersection]] of a family &lt;math&gt;({\rm G}_i)&lt;/math&gt; of normal subgroups of a group &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. For &lt;math&gt;xy^{-1} \in {{\rm G}_i&lt;/math&gt; (for each &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;) implies &lt;math&gt;x^{-1}y \in {\rm G}_i&lt;/math&gt; (for each &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;); hence &lt;math&gt;xy^{-1} \in \bigcap_i {\rm G}_i&lt;/math&gt; implies &lt;math&gt;x^{-1}y \in \bigcap_i {\rm G}_i&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Examples ==<br /> <br /> In an [[Abelian group]], every subgroup is a normal subgroup. More generally, the [[center]] of every group is a normal subgroup of that group.<br /> <br /> Every group is a normal subgroup of itself. Similarly, the [[trivial group]] is a subgroup of every group.<br /> <br /> Consider the smallest nonabelian group, &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; (the [[symmetric group]] on three elements); call its generators &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;x^3 = y^2 = (xy)^2 =e&lt;/math&gt;, the identity. It has two nontrivial subgroups, the one generated by &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (isomorphic to &lt;math&gt;\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}&lt;/math&gt; and the one generated by &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; (isomorphic to &lt;math&gt;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt;). Of these, the second is normal but the first is not.<br /> <br /> If &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; are groups, and &lt;math&gt;f: {\rm G \to G'}&lt;/math&gt; is a [[homomorphism]] of groups, then the inverse image of the identity of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, called the ''[[kernel]]'' of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; and denoted &lt;math&gt;\text{Ker}(f)&lt;/math&gt;, is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; (see the proof of theorem 1 below). In fact, this is a characterization of normal subgroups, for if &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, the kernel of the canonical homomorphism &lt;math&gt;f:{\rm G \to G/H}&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Note that if &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is not necessarily a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Every [[characteristic subgroup]] of &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.<br /> <br /> == Group homomorphism theorems ==<br /> <br /> '''Theorem 1.''' An equivalence relation &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; on elements of a group &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is compatible with the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; if and only if it is equivalent to a relation of the form &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;, for some normal subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' One direction of the theorem follows from our definition, so we prove the other, namely, that any relation &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; compatible with the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; is of the form &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;, for a normal subgroup &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> To this end, let &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be the set of elements equivalent to the identity, &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, under &lt;math&gt;\mathcal{R}&lt;/math&gt;. Evidently, if &lt;math&gt;x \equiv y \pmod{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;xy^{-1} \equiv e \pmod{\mathcal{R}}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;; the converse holds as well, so &lt;math&gt;\mathcal{R}(x,y)&lt;/math&gt; is equivalent to the statement &quot;&lt;math&gt;xy^{-1} \in {\rm H}&lt;/math&gt;&quot;. Also, for any &lt;math&gt;x,y \in {\rm H}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; xy \equiv ee \equiv e \pmod{\mathcal{R}}, &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;xy \in {\rm H}&lt;/math&gt;. Thus &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is closed under the group law on &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Then by definition, &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Theorem 2.''' Let &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be two groups; let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be a group homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; be the kernel of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.<br /> * If &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then the inverse image &lt;math&gt;f^{-1}({\rm H) = G'}&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;; if &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then its inverse image is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Consequently, &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, and of this inverse image. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is [[surjective]], then &lt;math&gt;f({\rm G'}) = {\rm H'}&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; induces an isomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'/N}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;<br /> * If &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;; if &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f({\rm G})&lt;/math&gt;. In particular, if &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;. The inverse image of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;\rm G'N = NG'&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' For the first part, suppose &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;f(ab) = f(a)f(b) \in {\rm H}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;ab&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Hence &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt; is a normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, then for all &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and all &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;,<br /> &lt;cmath&gt; f(a)f(b)f(a)^{-1} \in {\rm H'}, &lt;/cmath&gt;<br /> so<br /> &lt;cmath&gt; aba^{-1} \in f^{-1}(\rm H') = G'; &lt;/cmath&gt;<br /> thus &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. Applying this result to the trivial subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, we prove that &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;; since the trivial subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; is also a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H'}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; is also a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then by definition &lt;math&gt;f(\rm G') = H'&lt;/math&gt;. Also, if &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; which are congruent mod &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;f(ab^{-1}) = f(e)&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f(a) = f(b)&lt;/math&gt;. Thus &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; induces an isomorphism from &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm H'&lt;/math&gt; which is evidently a homomorphism; hence, an isomorphism. This proves the first part of the theorem.<br /> <br /> For the second part, suppose that &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; are elements of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Then<br /> &lt;cmath&gt; f(a)f(b) = f(ab) \in f({\rm G'}) \subseteq f(\rm G) \subseteq H, &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; and of &lt;math&gt;f({\rm G})&lt;/math&gt;. Suppose &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; is any element of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt;, then<br /> &lt;cmath&gt; f(x)f(a)f(x)^{-1} = f(xax^{-1}) \in f(\rm G') , &lt;/cmath&gt;<br /> so &lt;math&gt;f( \rm G')&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f(\rm G)&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective, then &lt;math&gt;f(\rm G)= H&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Finally, suppose that &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; is an element of &lt;math&gt;f({\rm G'}&lt;/math&gt;. Then for some &lt;math&gt;b \in \rm G'&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(a) = f(b)&lt;/math&gt;. Hence<br /> &lt;cmath&gt; f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = f(e). &lt;/cmath&gt;<br /> Then &lt;math&gt;ab^{-1} = n&lt;/math&gt;, for some &lt;math&gt;n\in \rm N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;a= bn \in \rm G'N = NG'&lt;/math&gt;. This finishes the proof of the second part of the theorem. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 3.''' Let &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt; be groups; let &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;{\rm L}&lt;/math&gt; a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be a group homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;{\rm H}&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; the kernel of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;{\rm LN}&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;{\rm G'N}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\rm L \cdot (G' \cap N)&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f({\rm L})&lt;/math&gt; is a normal subgroup of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt;; furthermore, the quotient groups &lt;math&gt;\rm G'N/LN&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\rm G'/L\cdot (G' \cap N)&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' By theorem 2, &lt;math&gt;f({\rm L})&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;\iota&lt;/math&gt; be the canonical homomorphism of &lt;math&gt;f({\rm G'})&lt;/math&gt; into &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt;; let &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt; be the restriction of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;g = \iota \circ f'&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'N}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({\rm L})&lt;/math&gt;, and its kernel is &lt;math&gt;{\rm LN}&lt;/math&gt;. Furthermore, &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; induces a surjective homomorphism from &lt;math&gt;{\rm G'}&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;f({\rm G'})/f({{\rm L})&lt;/math&gt;; the kernel of this homomorphism is &lt;math&gt;{\rm L \cdot (G' \cap N)}&lt;/math&gt;. The corollary then follows from theorem 2. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> For the following three corollaries, &lt;math&gt;{\rm G}&lt;/math&gt; will denote a group, and &lt;math&gt;{\rm N}&lt;/math&gt; a normal subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;, and &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; the canonical homomorphism from &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;.<br /> <br /> '''Corollary 4.''' The mapping &lt;math&gt;f: \rm G' \mapsto G'/N&lt;/math&gt; is a bijection from the set of subgroups of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; that contain &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; to the set of subgroups of &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt;.<br /> <br /> ''Proof.'' Evidently, if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;. If &lt;math&gt;\rm H&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\lambda^{-1}(\rm H)&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective. Finally, since &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is the kernel of &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(\lambda^{-1} \circ \lambda)(\rm G') = G'N = G'&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is injective. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 5.''' Let &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; containing &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;; in this case, the groups &lt;math&gt;\rm G/G'&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' Note that &lt;math&gt;(\lambda^{-1} \circ \lambda)(\rm G') = G'N = G'&lt;/math&gt;. Then by theorem 2, if &lt;math&gt;\lambda(\rm G')=G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\lamda(\rm G) = G/N&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Conversely, since &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; is surjective, if &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;\lambda(\rm G') = G'/N&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G'/N&lt;/math&gt;. Now, suppose that &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; is normal in &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; be the canonical homomorphism of &lt;math&gt;\rm G/N&lt;/math&gt; onto &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt;. Evidently &lt;math&gt;f \circ \lambda&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt;, and the kernel of &lt;math&gt;f \circ \lambda&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt;. Then by theorem 2, &lt;math&gt;\rm G/G&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm (G/N)/(G'/N)&lt;/math&gt; are isomorphic. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> '''Corollary 6.''' Let &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; be a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt; is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; of which &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is a normal subgroup, and the groups &lt;math&gt;\rm G'/(G' \cap N)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt; are isomorphic.<br /> <br /> ''Proof.'' By theorem 2, &lt;math&gt;\rm G'N = NG'&lt;/math&gt; is the inverse image of the image of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; under &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;; hence it is a subgroup of &lt;math&gt;\rm G&lt;/math&gt; in which &lt;math&gt;\rm N&lt;/math&gt; is evidently normal. Let &lt;math&gt;\iota&lt;/math&gt; be the canonical injection of &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; into &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;, and let &lt;math&gt;\lambda'&lt;/math&gt; be the restriction of &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N&lt;/math&gt;. Then &lt;math&gt;\lambda' \circ \iota&lt;/math&gt; is a surjective homomorphism from &lt;math&gt;\rm G'&lt;/math&gt; to &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt;, and its kernel is &lt;math&gt;\rm (G' \cap N)&lt;/math&gt;. Hence &lt;math&gt;\rm G'/(G' \cap N)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\rm G'N/N&lt;/math&gt; are isomorphic, as desired. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;<br /> <br /> == See also ==<br /> <br /> * [[Characteristic subgroup]]<br /> * [[Quotient group]]<br /> * [[Coset]]<br /> * [[Zassenhaus's Lemma]]<br /> * [[Schreier's Theorem]]<br /> * [[Jordan-Hölder Theorem]]<br /> <br /> <br /> [[Category:Group theory]]</div> Aslan https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Metric_space&diff=49984 Metric space 2012-12-22T05:19:51Z <p>Aslan: /* Popular metrics */</p> <hr /> <div>A '''metric space''' is a pair, &lt;math&gt;(S, d)&lt;/math&gt; of a [[set]] &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; and a [[metric]] &lt;math&gt;d: S \times S \to \mathbb{R}_{\geq 0}&lt;/math&gt;. The metric &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; represents a distance function between pairs of points of &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; which has the following properties:<br /> <br /> *Symmetry: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) = d(y, x)&lt;/math&gt;<br /> *Non-negativity: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) \geq 0&lt;/math&gt;<br /> *Uniqueness: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) = 0&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;x = y&lt;/math&gt;<br /> *The [[Triangle Inequality]]: for all points &lt;math&gt;x, y, z \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)&lt;/math&gt; <br /> <br /> Intuitively, a metric space is a generalization of the distance between two objects (where &quot;objects&quot; can be anything, including points, functions, graphics, or grades). The above properties follow from our notion of distance. Non-negativity stems from the idea that A cannot be closer to B than B is to itself; Uniqueness results from two objects being identical if and only if they are the same object; and the Triangle Inequality corresponds to the idea that a direct path between points A and B should be at least as short as a roundabout path that visits some point C first.<br /> <br /> ==Popular metrics==<br /> <br /> * The [[Euclidean metric]] on &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, with the &quot;usual&quot; meaning of distance which is given by &lt;math&gt;d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}&lt;/math&gt; where &lt;math&gt;x=(x_1,x_2,\dots, x_n)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> * The [[Discrete metric]] on any set, where &lt;math&gt;d(x,y)=1&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;x\neq y&lt;/math&gt;<br /> <br /> * The [[Taxicab metric]] on &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;d(((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|&lt;/math&gt;<br /> <br /> [[Category:Analysis]]<br /> {{stub}}</div> Aslan https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Metric_space&diff=49983 Metric space 2012-12-22T05:19:04Z <p>Aslan: /* Popular metrics */</p> <hr /> <div>A '''metric space''' is a pair, &lt;math&gt;(S, d)&lt;/math&gt; of a [[set]] &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; and a [[metric]] &lt;math&gt;d: S \times S \to \mathbb{R}_{\geq 0}&lt;/math&gt;. The metric &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; represents a distance function between pairs of points of &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; which has the following properties:<br /> <br /> *Symmetry: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) = d(y, x)&lt;/math&gt;<br /> *Non-negativity: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) \geq 0&lt;/math&gt;<br /> *Uniqueness: for all &lt;math&gt;x, y \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) = 0&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;x = y&lt;/math&gt;<br /> *The [[Triangle Inequality]]: for all points &lt;math&gt;x, y, z \in S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)&lt;/math&gt; <br /> <br /> Intuitively, a metric space is a generalization of the distance between two objects (where &quot;objects&quot; can be anything, including points, functions, graphics, or grades). The above properties follow from our notion of distance. Non-negativity stems from the idea that A cannot be closer to B than B is to itself; Uniqueness results from two objects being identical if and only if they are the same object; and the Triangle Inequality corresponds to the idea that a direct path between points A and B should be at least as short as a roundabout path that visits some point C first.<br /> <br /> ==Popular metrics==<br /> <br /> * The [[Euclidean metric]] on &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, with the &quot;usual&quot; meaning of distance which is given by &lt;math&gt;d(x,y)=\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2&lt;/math&gt; where &lt;math&gt;x=(x_1,x_2,\dots, x_n)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> * The [[Discrete metric]] on any set, where &lt;math&gt;d(x,y)=1&lt;/math&gt; if and only if &lt;math&gt;x\neq y&lt;/math&gt;<br /> <br /> * The [[Taxicab metric]] on &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;d(((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|&lt;/math&gt;<br /> <br /> [[Category:Analysis]]<br /> {{stub}}</div> Aslan