Difference between revisions of "1992 OIM Problems/Problem 1"

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<math>a_{20k+p}=\frac{p(p+1)}{2} \text{ mod } 10 = a_p</math>  
 
<math>a_{20k+p}=\frac{p(p+1)}{2} \text{ mod } 10 = a_p</math>  
  
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Let <math>S_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n</math>
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Since <math>a_{20k+p}=a_p</math>
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then, <math>S_{20k+p}=k\sum_{i=1}^{20}a_i+\sum_{i=1}^{p}a_i</math>
  
Let <math>S_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n</math>
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&\begin{cases}
 +
a_1=\frac{(1)(2)}{2}\text{ mod }10=1\text{ mod }10=1\
 +
a_2=\frac{(2)(3)}{2}\text{ mod }10=3\text{ mod }10=3\
 +
a_3=\frac{(3)(4)}{2}\text{ mod }10=6\text{ mod }10=6\
 +
a_4=\frac{(4)(5)}{2}\text{ mod }10=10\text{ mod }10=0\
 +
a_5=\frac{(5)(6)}{2}\text{ mod }10=15\text{ mod }10=5\
 +
a_6=\frac{(6)(7)}{2}\text{ mod }10=21\text{ mod }10=1\
 +
a_7=\frac{(7)(8)}{2}\text{ mod }10=28\text{ mod }10=8\
 +
a_8=\frac{(8)(9)}{2}\text{ mod }10=36\text{ mod }10=6\
 +
a_9=\frac{(9)(10)}{2}\text{ mod }10=45\text{ mod }10=5\
 +
a_10=\frac{(10)(11)}{2}\text{ mod }10=55\text{ mod }10=5\
 +
a_11=\frac{(11)(12)}{2}\text{ mod }10=66\text{ mod }10=6\
 +
a_12=\frac{(12)(13)}{2}\text{ mod }10=78\text{ mod }10=8\
 +
a_13=\frac{(13)(14)}{2}\text{ mod }10=91\text{ mod }10=1\
 +
a_14=\frac{(14)(15)}{2}\text{ mod }10=105\text{ mod }10=5\
 +
a_15=\frac{(15)(16)}{2}\text{ mod }10=120\text{ mod }10=0\
 +
a_16=\frac{(16)(17)}{2}\text{ mod }10=136\text{ mod }10=6\
 +
a_17=\frac{(17)(18)}{2}\text{ mod }10=153\text{ mod }10=3\
 +
a_18=\frac{(18)(19)}{2}\text{ mod }10=171\text{ mod }10=1\
 +
a_19=\frac{(19)(20)}{2}\text{ mod }10=190\text{ mod }10=0\
 +
a_20=\frac{(20)(21)}{2}\text{ mod }10=210\text{ mod }10=0
 +
\end{cases}$
  
  

Revision as of 23:39, 13 December 2023

Problem

For each positive integer $n$, let $a_n$ be the last digit of the number. $1+2+3+\cdots +n$. Calculate $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1992}$.

~translated into English by Tomas Diaz. ~orders@tomasdiaz.com

Solution

$a_n=\frac{n(n+1)}{2}\text{ mod } 10$

Let $k$ and $p$ be integers with $k \ge 0$, and $1 \le p \le 20$

$a_{20k+p}=\frac{(20k+p)(20k+p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\frac{20k^2+20k(p+1)+20kp+p(p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\frac{20k^2+20k(p+1)+20kp+p(p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\left(10(k^2+k(p+1)+kp)+ \frac{p(p+1)}{2} \right)\text{ mod } 10$

Since $10(k^2+k(p+1)+kp)\text{ mod } 10=0$, then

$a_{20k+p}=\frac{p(p+1)}{2} \text{ mod } 10 = a_p$

Let $S_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

Since $a_{20k+p}=a_p$

then, $S_{20k+p}=k\sum_{i=1}^{20}a_i+\sum_{i=1}^{p}a_i$

&{a1=(1)(2)2 mod 10=1 mod 10=1a2=(2)(3)2 mod 10=3 mod 10=3a3=(3)(4)2 mod 10=6 mod 10=6a4=(4)(5)2 mod 10=10 mod 10=0a5=(5)(6)2 mod 10=15 mod 10=5a6=(6)(7)2 mod 10=21 mod 10=1a7=(7)(8)2 mod 10=28 mod 10=8a8=(8)(9)2 mod 10=36 mod 10=6a9=(9)(10)2 mod 10=45 mod 10=5a10=(10)(11)2 mod 10=55 mod 10=5a11=(11)(12)2 mod 10=66 mod 10=6a12=(12)(13)2 mod 10=78 mod 10=8a13=(13)(14)2 mod 10=91 mod 10=1a14=(14)(15)2 mod 10=105 mod 10=5a15=(15)(16)2 mod 10=120 mod 10=0a16=(16)(17)2 mod 10=136 mod 10=6a17=(17)(18)2 mod 10=153 mod 10=3a18=(18)(19)2 mod 10=171 mod 10=1a19=(19)(20)2 mod 10=190 mod 10=0a20=(20)(21)2 mod 10=210 mod 10=0$


Alternate solutions are always welcome. If you have a different, elegant solution to this problem, please add it to this page.

See also

https://www.oma.org.ar/enunciados/ibe7.htm