Art of Problem Solving
AoPS Online
Math texts, online classes, and more
for students in grades 5-12.
Visit AoPS Online ‚
Books for Grades 5-12 Online Courses
Beast Academy
Engaging math books and online learning
for students ages 6-13.
Visit Beast Academy ‚
Books for Ages 6-13 Beast Academy Online
AoPS Academy
Small live classes for advanced math
and language arts learners in grades 2-12.
Visit AoPS Academy ‚
Find a Physical Campus Visit the Virtual Campus

Difference between revisions of "2011 IMO Problems/Problem 6"

(→‎Solution: reereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereeree)
(→‎See Also)
 
(3 intermediate revisions by 2 users not shown)
Line 10: Line 10:
 
The equation for line <math>AB</math> is <math>\frac{x-x_a}{y-y_a}=\frac{x-x_b}{y-y_b}</math>
 
The equation for line <math>AB</math> is <math>\frac{x-x_a}{y-y_a}=\frac{x-x_b}{y-y_b}</math>
  
−
Through a little bash, (0,1) reflects to <math>(\frac{(-x_a+x_b+x_by_a)(y_b-_a)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}, \frac{(x_by_a-x_ay_b)(x_a-x_b)+(y_a-y_b)^2}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}</math>. <math>(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2</math> simplifies to <math>-(2x_ax_b+2y_ay_b)</math>. The terms for the other 2 are symmetric.
+
Through a little bash, (0,1) reflects to <math>\left(\frac{(-x_a+x_b+x_by_a)(y_b-_a)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}, \frac{(x_by_a-x_ay_b)(x_a-x_b)+(y_a-y_b)^2}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}\right)</math>. <math>(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2</math> simplifies to <math>-(2x_ax_b+2y_ay_b)</math>. The terms for the other 2 are symmetric.
−
The intersection point must reflect to itself, and the equation is <math>(\frac{x_by_a-x_ay_b-x_a+x_b}{y_b-y_a}, 1)</math>.
+
The intersection point must reflect to itself, and the equation is <math>\left(\frac{x_by_a-x_ay_b-x_a+x_b}{y_b-y_a}, 1\right)</math>.
  
 
It is trivial to find the intersections of a,b and their perpendicular bisectors, so this is left to the reader as an exercise.
 
It is trivial to find the intersections of a,b and their perpendicular bisectors, so this is left to the reader as an exercise.
Line 18: Line 18:
  
 
-Trex4days
 
-Trex4days
−
reereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereeree
 
  
 
==See Also==
 
==See Also==
 
*[[2011 IMO Problems]]
 
*[[2011 IMO Problems]]
 +
 +
{{IMO box|year=2011|num-b=5|after=Last Problem}}

Latest revision as of 01:22, 19 November 2023

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcircle $\Gamma$. Let $\ell$ be a tangent line to $\Gamma$, and let $\ell_a, \ell_b$ and $\ell_c$ be the lines obtained by reflecting $\ell$ in the lines $BC$, $CA$ and $AB$, respectively. Show that the circumcircle of the triangle determined by the lines $\ell_a, \ell_b$ and $\ell_c$ is tangent to the circle $\Gamma$.

Solution

Without loss of generality, let $\Gamma$ be the unit circle and let $\ell$ be the line $y=1$.

Denote the coordinates of $A,B,C$ by $(x_a, y_a)$ and similarly for B and C.

We get $x_a^2+y_a^2=1$, ...

The equation for line $AB$ is $\frac{x-x_a}{y-y_a}=\frac{x-x_b}{y-y_b}$

Through a little bash, (0,1) reflects to $\left(\frac{(-x_a+x_b+x_by_a)(y_b-_a)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}, \frac{(x_by_a-x_ay_b)(x_a-x_b)+(y_a-y_b)^2}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}\right)$. $(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2$ simplifies to $-(2x_ax_b+2y_ay_b)$. The terms for the other 2 are symmetric. The intersection point must reflect to itself, and the equation is $\left(\frac{x_by_a-x_ay_b-x_a+x_b}{y_b-y_a}, 1\right)$.

It is trivial to find the intersections of a,b and their perpendicular bisectors, so this is left to the reader as an exercise.

Regardless, the circumcenter and an intersection of the circles are collinear with (0,0), so it is a tangency.

-Trex4days

See Also

2011 IMO (Problems) • Resources
Preceded by
Problem 5 		1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 Followed by
Last Problem
All IMO Problems and Solutions
Retrieved from "https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2011_IMO_Problems/Problem_6&oldid=204549"