New House

by SBM, Sep 19, 2020, 10:49 PM

https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/

Post 1392

by SBM, Sep 13, 2020, 2:57 AM

https://scontent.fsgn5-3.fna.fbcdn.net/v/t1.0-9/119118697_645119653098799_5816211738952034058_o.jpg?_nc_cat=111&_nc_sid=ca434c&_nc_ohc=7fhCDoVYsjoAX_p-trt&_nc_ht=scontent.fsgn5-3.fna&oh=ef9fb2d3d23d1de8cf9caf06759d2442&oe=5F84FF2E

Lời giải. (Vui lòng xem file đính kèm)

Attachments:

Post 1392.pdf (76kb)

This post has been edited 2 times. Last edited by SBM, Sep 13, 2020, 7:10 AM

Cylic inequality

by SBM, Sep 3, 2020, 1:16 PM

Let $a+b+c=1,ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{3}\quad (\,0 \leqslant t \leqslant 1\,).$

We try to find $X$ function such as $:$

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant X$
Or $\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right) \geqslant p \left( a-b \right) \left( b-c \right) \left( -c+a \right),$
Or $\Big[\left( -2\,X-p \right) r+q \left( {p}^{2}-2\,q \right)\Big]^2 \geqslant p^2 (-4\,r{p}^{3}+{p}^{2}{q}^{2}+18\,pqr-4\,{q}^{3}-27\,{r}^{2})$
Or $f(r)=\left( 4{X}^{2}+4Xp+28{p}^{2} \right) {r}^{2}+ \left( -4\,q{p}^ {2}X-20{p}^{3}q+8{q}^{2}X+4p{q}^{2}+4{p}^{5} \right) r+4\,{q}^ {4}\geqslant 0$ We choose X such as $:$

$\Delta_r = 16\, \left( {X}^{2}{p}^{2}{q}^{2}-4\,{X}^{2}{q}^{3}-22\,Xp{q}^{3}-2\,X {p}^{5}q+14\,X{p}^{3}{q}^{2}-27\,{q}^{4}+27\,{p}^{4}{q}^{2}+{p}^{8}-10 \,{p}^{2}{q}^{3}-10\,{p}^{6}q \right) {p}^{2} =0,$ or $X_{\text{1},\,\, \text{2}}={\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}\pm 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}}$
We choose $X = {\frac {11p{q}^{2}-7{p}^{3}q+{p}^{5}+ 2q(p^2-3q) \sqrt {p^2-3q}}{ \left( {p}^{2}-4\,q \right) q}},$
which means $X={\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}.$
So $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geqslant {\frac {3\,{t}^{4}-4\,{t}^{3}-5\,{t}^{2}-2\,t-1}{ \left( t-1 \right) \left( t+1 \right) \left( 1+2\,t \right) }}.$
The idea of this is here.

This post has been edited 1 time. Last edited by SBM, Sep 3, 2020, 1:16 PM

Post 2920

by SBM, Sep 2, 2020, 3:35 AM

Let $\text{P}={\frac {a \left( b+c \right) }{a^2+(b+c)^2}}$ For $a,b,c >0.$ Prove $\text{P} \leqslant \dfrac{3}{5}\cdot {\dfrac {a \left( 8\,a+11\,b+11\,c \right) }{4\,{a}^{2}+4\,{b}^{2} +4\,{c}^{2}+11\,ab+11\,bc+11\,ac}}.$ But the following inequality is true for all $a,b,c\in \mathbb{R}.$
$\text{P} \leqslant {\frac {3}{25}}\cdot {\frac {107093236\,{a}^{2}+62310932\,{b}^{2}+62310932 \,{c}^{2}+77745813\,ab+77745813\,ac-95355596\,bc}{23171510\,{a}^{2}+ 23171510\,{b}^{2}+23171510\,{c}^{2}+6013603\,ab+6013603\,bc+6013603\,a c}}$

This post has been edited 1 time. Last edited by SBM, Sep 2, 2020, 6:52 AM

Helpful lemma for the homogeneous inequality

by SBM, Sep 1, 2020, 8:08 AM

Let $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc.$

Since ${q}^{2} \left( {p}^ {2}-4\,q \right) -2\,p \left( 2\,{p}^{2}-9\,q \right) r-27\,{r}^{2}=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \geqslant 0.$
Or ${q}^{2} \left( 1-4\,q \right)-2\, \left( 2-9\,q \right) r -27\,{r}^{2}\geqslant 0$
Therefore $-{\frac {2}{27}}+\frac13\,q-{\frac {2}{27}}\,\sqrt { \left( 1-3\,q \right) ^{3}} \leqslant r \leqslant -{\frac {2}{27}}+\frac13\,q+{\frac {2}{27}}\,\sqrt { \left( 1-3\,q \right) ^{3}}.$
Let $t=\sqrt{1-3q} \quad \Big(t\geqslant 0 \Big) \Rightarrow q=\frac{1-t^2}{3}.$

We have $:$ $\boxed{\dfrac{1}{27} \left( 1-2t \right) \left( 1+t \right) ^{2} \leqslant r\leqslant \dfrac{1}{27} \left( 2\,t+1 \right) \left( t-1\right) ^{2}}$
Note. If $a,b,c\geqslant 0$ then we also have $t \in [\,0,1\,].$

Now we see that it's same as Bổ Đề Chặn Tích by Vo Quoc Ba Can

https://voz.vn/styles/next/xenforo/smilies/popo/biggrin.png?v=01

This post has been edited 2 times. Last edited by SBM, Sep 1, 2020, 12:56 PM

AM-GM testing tool

by SBM, Aug 29, 2020, 9:11 AM

Chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM với sự trợ giúp của máy tính.

Mình đang thử nghiệm chương trình AM-GM $,$ hoạt động trên Maple.

Hiện tại chương trình chỉ hoạt động với đối BĐT có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ $,$ đôi khi nó cũng hoạt động với $a=b,c=0;..$ và hệ số vẫn còn xấu :blush:

Đôi khi kết hợp SOS program và chương trình AM-GM sẽ giúp cho năng lực toàn diện hơn. (một ví dụ cho sự kết hợp này)

Xem ví dụ tại đây và đây nữa.

Edit. Vì đây là chương trình chưa hoàn thiện và vẫn đang thử nghiệm nên mình chỉ nói sơ qua về ý tưởng.

Chương trình hoạt động dựa trên bất đẳng thức AM-GM suy rộng $:$

Quote:

Với $a_1,a_2,..a_\text{n}$ không âm và $x_1,x_2,...,x_\text{n}$ là các số thực dương có tổng bằng $1$ thì

$x_1 a_1 +x_2 a_2 +\cdots +x_\text{n} a_\text{n} \geqslant a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}\cdots a_{n}^{x_{\text{n}}}$

Về cơ bản mà nói $,$ chương trình gồm $4$ bước $:$

Bước $1.$ Nếu bất đẳng thức đó là $3$ biến thuần nhất thì tiếp tục bước $2.$ Nếu không $,$ trả về tập rỗng.
Bước $2.$ Sinh ra một đa thức tự do bậc deg (deg là bậc của BĐT cần chứng minh) có gắn hệ số.
Bước $3.$ Tiếp theo áp dụng BĐT AM-GM suy rộng cho đa thức trên.
Bước $4.$ Giải hệ và đưa ra kết quả.

This post has been edited 3 times. Last edited by SBM, Aug 30, 2020, 3:22 AM

Maple

a.m-g.m inequality

Inequality

sum-of-squares

Calculate algebra with some identities

by SBM, Aug 28, 2020, 1:14 AM

Đây là một chương trình thử nghiệm trên Maple do mình viết. Thực ra $,$ trước đây anh Huyện đã từng viết về cái này rồi. Tuy nhiên $,$ do sự thay đổi về cú pháp lập trình ở mỗi phiên bản nên code của anh Huyện không thể chạy trên các phiên bản Maple cũ.

Nhằm khắc phục điều đó $,$ mình đã tự viết lại theo ý mình và hoạt động trên tất cả phiên bản Maple.

Chương trình hiện tại đang có

$[\text{Abel, AsSymmetric, BinetCauchy, Info, Lagrange, Lebesgue, Liouville}]$
So với chương trình của anh Huyện $,$ thì chỉ còn hàm NewTon là mình vẫn chưa viết được. Nhưng đã bổ sung thêm hàm Lebesgue và Liouville.

Mình sẽ tiếp tục cập nhật chương trình trong thời gian tới.

DEMO chương trình $:$

Xem trực tiếp tại đây hoặc tải về tại đây.
$\text{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}$
Sau đây là mã nguồn chương trình.
Mã HEX

Để chuyển từ HEX sang link download $,$ vui lòng xem bài viết này.
$\text{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}$

Cách sử dụng $,$ sau khi tải file về. Các bạn mở Maple lên.

Dùng lệnh read "Đường dẫn/Identity.mpl"

Sau đó chương trình sẽ yêu cầu bạn nhập Password $,$ thì các bạn nhập "tthnewblog"

Lưu ý rằng $,$ phải nhập đúng Password chương trình mới chạy :-D

This post has been edited 3 times. Last edited by SBM, Aug 28, 2020, 1:54 AM

Maple

Inequality

Inequality from BQ sir

by SBM, Aug 27, 2020, 7:53 AM

For $n=3..5\quad \text{and} \quad x_{\text{n+1}} =x_\text{n}.$ Prove that $:$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{\dfrac{x_i^2}{x_{i+1}^2}}+n-1\geqslant (2n-1)\dfrac{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}{\sum_{i=1}^n{x_ix_{i+1}}}.$
(BQ)

Tong Abel

by SBM, Aug 27, 2020, 7:19 AM

We have $:$
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_\text{i} b_\text{i}=\sum_{k=1}^{n-1} (a_\text{k}-a_\text{k+1})B_{\text{k}}+a_{\text{n}} B_{\text{n}} \quad \text{where} \quad \text{B}_{\text{k}}=b_{\text{1}}+b_\text{2} +\cdots +b_\text{k}$

For $i=2,$ $\text{we have}$ $:$ $a_\text{1} b_\text{1} +a_\text{2} b_\text{2}=(a_\text{1} -a_\text{2}) b_\text{1}+a_\text{2} (b_\text{1} +b_\text{2})$
and for $i=3,\,$ we have

$a_\text{1} b_\text{1} +a_\text{2} b_\text{2} +a_\text{3} b_\text{3}=(a_1 -a_\text{2}) b_1 +(a_\text{2} -a_\text{3})(b_\text{1}+b_\text{2})+a_\text{3} (b_1+b_2+b_3)$