Chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM với sự trợ giúp của máy tính.

Mình đang thử nghiệm chương trình AM-GM $,$ hoạt động trên Maple.

Hiện tại chương trình chỉ hoạt động với đối BĐT có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ $,$ đôi khi nó cũng hoạt động với $a=b,c=0;..$ và hệ số vẫn còn xấu :blush:

Đôi khi kết hợp SOS program và chương trình AM-GM sẽ giúp cho năng lực toàn diện hơn. (một ví dụ cho sự kết hợp này)

Xem ví dụ tại đây và đây nữa.

Edit. Vì đây là chương trình chưa hoàn thiện và vẫn đang thử nghiệm nên mình chỉ nói sơ qua về ý tưởng.

Chương trình hoạt động dựa trên bất đẳng thức AM-GM suy rộng $:$

Quote:

Với $a_1,a_2,..a_\text{n}$ không âm và $x_1,x_2,...,x_\text{n}$ là các số thực dương có tổng bằng $1$ thì

$x_1 a_1 +x_2 a_2 +\cdots +x_\text{n} a_\text{n} \geqslant a_{1}^{x_{1}}a_{2}^{x_{2}}\cdots a_{n}^{x_{\text{n}}}$

Về cơ bản mà nói $,$ chương trình gồm $4$ bước $:$

Bước $1.$ Nếu bất đẳng thức đó là $3$ biến thuần nhất thì tiếp tục bước $2.$ Nếu không $,$ trả về tập rỗng.
Bước $2.$ Sinh ra một đa thức tự do bậc deg (deg là bậc của BĐT cần chứng minh) có gắn hệ số.
Bước $3.$ Tiếp theo áp dụng BĐT AM-GM suy rộng cho đa thức trên.
Bước $4.$ Giải hệ và đưa ra kết quả.