Εύρεση τύπου

by mathxl, Sep 4, 2011, 9:16 PM

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f:\left[ {0, + \infty } \right) \to \left[ {0, + \infty } \right)$ που έχει συνεχή παράγωγο και είναι τέτοια ώστε να ισχύει $f\left( x \right) = \sqrt {2010 + \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} }$
για κάθε $x \in \left[ {0, + \infty } \right)$

Πηγή: Ρουμανία

This post has been edited 3 times. Last edited by mathxl, Sep 7, 2011, 7:23 PM

Comment

2 Comments

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Μία λύση είναι η εξής

$f'\left( x \right) = - 3\ln f\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 3\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{3}{{f\left( x \right)}}\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime } + \frac{3}{{f\left( x \right)}}\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime }{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} + {\left( {{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }}} \right)^\prime }\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow \ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} = c$

Για $x = 1$ προκύπτει $c = 0$

Με αντικατάσταση λαμβάνουμε
$\ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} = 0 \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1,x \in R$

Λύσεις έχουν δοθεί και από τον Θάνο Μάγκο και Ροδόλφο Μπόρη εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&p=94683

by mathxl, Sep 7, 2011, 7:35 PM

Report

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση
Για $x = 0$ λαμβάνουμε $f\left( 0 \right) = \sqrt {2010}$
Είναι
${f^2}\left( x \right) = 2010 + \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} \Leftrightarrow$

${f^2}\left( x \right) - {f^2}\left( 0 \right) = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} \Leftrightarrow$

$\left[ {{f^2}\left( t \right)} \right]_0^x = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} \Leftrightarrow$

$\int\limits_0^x {2f\left( t \right)f'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} \Leftrightarrow$

$0 = \int\limits_0^x {\left( {{f^2}\left( t \right) - 2f\left( t \right)f'\left( t \right) + {{f'}^2}\left( t \right)} \right)dt} \Leftrightarrow$

$\int\limits_0^x {{{\left( {f\left( t \right) - f'\left( t \right)} \right)}^2}dt} = 0$ , σχέση (1)

Για $x > 0$ η μη αρνητική συνάρτηση ${{{\left( {f\left( t \right) - f'\left( t \right)} \right)}^2}}$ είναι συνεχής. Υποθέτουμε ότι δεν είναι παντού μηδέν, συνεπώς θα ίσχύει $\int\limits_0^x {{{\left( {f\left( t \right) - f'\left( t \right)} \right)}^2}dt} > 0$
άτοπο από την σχέση (1). Συνεπώς θα είναι παντού μηδέν, δηλαδή για κάθε $x > 0$
θα είναι ${\left( {f\left( t \right) - f'\left( t \right)} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = c{e^t},t \in \left[ {0,x} \right]$
Επειδή το $x$ καλύπτει το διάστημα $\left( {0, + \infty } \right)$ , θα είναι και $f\left( t \right) = c{e^t},t \in \left[ {0, + \infty } \right)$

Για $t = 0$ προκύπτει $c = \sqrt {2010}$ και $f\left( t \right) = \sqrt {2010} {e^t},t \in \left[ {0, + \infty } \right)$ , δεκτή διότι ικανοποιεί την υπόθεση

by mathxl, Sep 7, 2011, 7:55 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts