Μια φορά και έναν καιρό ήταν η τριγωνομετρία

by mathxl, Apr 7, 2013, 2:37 PM

Πριν 2 χρόνια θα ήταν εντός ύλης ο παρακάτω τρόπος για το παρακάτω ολοκλήρωμα

$I =\int\limits_0^1{\sqrt{\frac{{1-\sqrt x }}{{1+\sqrt x }}}.dx}$

που πρότεινε ο βιετναμέζος φίλος μας thanhnam2902 εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=296&t=528594

Comment

1 Comment

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Μια λύση είναι η εξής
$I = \int\limits_0^1 {\sqrt {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} .dx} \mathop = \limits_{dx = - \sin 2tdt}^{x = {{\cos }^2}t} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\sin 2t\sqrt {\frac{{1 - \cos t}}{{1 + \cos t}}} dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2t\sqrt {{{\tan }^2}\frac{t}{2}} dt} =$

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2t\tan \frac{t}{2}dt} = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{t}{2}\cos tdt} = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{t}{2}\left( {2{{\cos }^2}\frac{t}{2} - 1} \right)dt} =$

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}t - 4{{\sin }^2}\frac{t}{2}} \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2t - 2 + 2\cos t} \right)dt} =$

$= \left[ { - t - \frac{1}{2}\sin 2t + 2\sin t} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} = 2 - \frac{\pi }{2}$

by mathxl, Apr 7, 2013, 2:38 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts