Εύρεση συνεχών συναρτήσεων

by mathxl, Sep 7, 2011, 8:45 PM

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $g: [0,1]\rightarrow R,$ , που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει $ g(x)=\frac{1}{3}g(x^{2})+\frac{1}{4}g(1-x^{2}}) $

Από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=296&t=324632

This post has been edited 1 time. Last edited by mathxl, Sep 7, 2011, 8:45 PM

Comment

1 Comment

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση

H g ως συνεχή στο $[0,1]$ θα έχει μέγιτ τιμή ${\rm M}$ και ελάχιστη τιμή $m$ .
Δηλαδή θα υπάρχουν ${x_1},{x_2} \in [0,1]$ τέτοια ώστε $g\left( {{x_1}} \right) = M$
και $g\left( {{x_2}} \right) = m$ ώστε να ισχύει $m \le g\left( x \right) \le M$
για κάθε $x \in [0,1]$

Άρα για $x = {x^2} \in [0,1]$ λαμβάνουμε $m \le g\left( {{x^2}} \right) \le M$ για κάθε $x \in [0,1]$

και για $x = 1 - {x^2} \in [0,1]$ λαμβάνουμε $m \le g\left( {1 - {x^2}} \right) \le M$

Συνεπώς
$\frac{m}{3} + \frac{m}{4} \le g(x) = \frac{1}{3}g({x^2}) + \frac{1}{4}g(1 - {x^2}) \le \frac{M}{3} + \frac{M}{4}$

$\Rightarrow \frac{{7m}}{{12}} \le g(x) \le \frac{{7M}}{{12}}$ για κάθε $x \in [0,1]$

Για $x = {x_1}:\frac{{7m}}{{12}} \le g({x_1}) \le \frac{{7M}}{{12}} \Rightarrow M \le \frac{{7M}}{{12}} \Rightarrow M \le 0$

Για $x = {x_2}:\frac{{7m}}{{12}} \le g({x_2}) \le \frac{{7M}}{{12}} \Rightarrow m \ge \frac{{7m}}{{12}} \Rightarrow m \ge 0$

Είναι λοιπόν
$0 \le m \le g(x) \le M \le 0 \Leftrightarrow M = m = g\left( x \right) = 0$ για κάθε $x \in [0,1]$
Συνάρτηση που ικανοποιεί την υπόθεση της άσκησης, οπότε την δεχόμαστε!

by mathxl, Sep 27, 2011, 8:58 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts