Εύρεση τύπου

by mathxl, Sep 4, 2011, 2:26 PM

Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης $f:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ που είναι τέτοια ώστε $f'\left( x \right) = - 3\ln f\left( x \right)$ για κάθε $x \in R$ και $f\left( 1 \right) = 1$

Δική μου κατασκευή

This post has been edited 8 times. Last edited by mathxl, Sep 7, 2011, 8:47 PM

Comment

1 Comment

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση

$f'\left( x \right) = - 3\ln f\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 3\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} + \frac{3}{{f\left( x \right)}}\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime } + \frac{3}{{f\left( x \right)}}\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\ln f\left( x \right)} \right)^\prime }{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} + {\left( {{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }}} \right)^\prime }\ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow \ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} = c$

Για $x = 1$ προκύπτει $c = 0$

Με αντικατάσταση λαμβάνουμε
$\ln f\left( x \right)\cdot{e^{\int\limits_1^x {\frac{3}{{f\left( t \right)}}dt} }} = 0 \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1,x \in R$

Λύσεις έχουν δοθεί και από τον Θάνο Μάγκο και Ροδόλφο Μπόρη εδώ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&p=94683

by mathxl, Sep 7, 2011, 8:11 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts