Εύρεση συνάρτησης

by mathxl, Sep 7, 2011, 8:06 PM

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1)\to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)\ne 0$ για κάθε $x>0$ και

$\displaystyle{(f(x))^2=2\int_0^x f(t)\,dt}$ για κάθε $x\geq 0$ .

Η άσκηση προταθηκε από τον Αχιλλέα Συννεφακόπουλο στην διεύθυνση http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=56&p=74351

This post has been edited 2 times. Last edited by mathxl, Sep 7, 2011, 8:18 PM

Comment

1 Comment

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση
Η f έχει μοναδική ρίζα το 0 και ως συνεχής θα διατηρεί πρόσημο στο (0,1)
( $\displaystyle{{(f(x))^2} = 2\int\limits_0^x f (t)\,dt > 0}$ )
Αν η f είναι αρνητική τότε το δεύτερο μέλος είναι αρνητικό, πράγμα αδύνατο, άρα είναι θετική

Για $x \ne 0$

$\displaystyle{{(f(x))^2} = 2\int\limits_0^x f (t)\,dt \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)}}{{2\sqrt {\int\limits_0^x f (t)\,dt} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {\int\limits_0^x f (t)\,dt} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x + c}$
για κάθε χ ανήκει στο [0,1) λόγω συνέχειας

Για $\displaystyle{x = 0:c = 0}$
$\displaystyle{\sqrt {\int\limits_0^x f (t)\,dt} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x \Leftrightarrow \int\limits_0^x f (t)\,dt = \frac{{{x^2}}}{2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = x}$

This post has been edited 2 times. Last edited by mathxl, Sep 7, 2011, 8:20 PM

by mathxl, Sep 7, 2011, 8:15 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts