Θέμα μιγαδικών από διαγώνισμα

by mathxl, Sep 29, 2011, 11:00 AM

Έστω ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{{z_{\left( \alpha \right)}} = \frac{\alpha }{{1 + \alpha i}},\alpha \in R}$ .
ι. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ του $\displaystyle{{z_{\left( \alpha \right)}}}$

ιι. Να βρείτε τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο (αν υπάρχουν)

ιιι. Αν οι εικόνες Μ του $\displaystyle{{z_{\left( \alpha \right)}}}$ ανήκουν σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{{\rm K}\left( {0, - \frac{1}{2}} \right)}$ και ακτίνας $\displaystyle{\rho = \frac{1}{2}}$
, να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{{z_{\left( \alpha \right)}},{z_{\left( { - \frac{1}{\alpha }} \right)}}}$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου αυτού.

ιv. Να δείξετε ότι το τρίγωνο που έχει ως κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{{z_{\left( 1 \right)}},{z_{\left( { - 1} \right)}},{z_{\left( {2012} \right)}}}$
είναι ορθογώνιο

Comment

1 Comment

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση (από τον Δημήτρη Κατσίποδα)

i.
$\displaystyle{z = \frac{a}{{1 + ai}} \Leftrightarrow z + azi = a \Leftrightarrow z = a(1 - zi)\begin{array}{*{20}c} {} & {(1)} \\ \end{array} }$

Αν $\displaystyle{z = - i}$ τότε η (1) γίνεται $\displaystyle{ - i = 0}$ Αδύνατο
Για $\displaystyle{z \ne - i}$ έχουμε $\displaystyle{ a = \frac{z}{{1 - zi}} }$
όμως $\displaystyle{ a \in R \Leftrightarrow a = \overline a \Leftrightarrow \frac{z}{{1 - zi}} = \frac{{\overline z }}{{1 + \overline z i}} \Leftrightarrow z(1 + \overline z i) = \overline z (1 - zi) \Leftrightarrow z + z\overline z i = \overline z - z\overline z i \Leftrightarrow 2z\overline z i + z - \overline z = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ 2i(x^2 + \psi ^2 ) + 2\psi i = 0 \Leftrightarrow x^2 + \psi ^2 + \psi = 0 \Leftrightarrow x^2 + (\psi + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} }$
Επομένως ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο $\displaystyle{ K(0, - \frac{1}{2}) }$ και ακτίνας $\displaystyle{ \rho = \frac{1}{2} }$ ,εκτός του σημείου $\displaystyle{ {\rm A}(0, - 1) }$

ii.
O μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο $\displaystyle{z = 0}$ . Ενώ δεν υπάρχει μιγαδικός με μέγιστο μέτρο.

iii.
$\displaystyle{z_{(a)} = \frac{a}{{1 + ai}}}$ και $\displaystyle{ z_{( - \frac{1}{a})} = \frac{{ - \frac{1}{a}}}{{1 - \frac{1}{a}i}} = \frac{{ - \frac{1}{a}}}{{\frac{{a - i}}{a}}} = \frac{{ - 1}}{{a - i}} }$

Εχουμε $\displaystyle{ \left| {z_{(a)} - z_{( - \frac{1}{a})} } \right| = \left| {\frac{a}{{1 + ai}} + \frac{1}{{a - i}}} \right| = \left| {\frac{a}{{i(a - i)}} + \frac{1}{{a - i}}} \right| = \left| {\frac{{ - ai + 1}}{{a - i}}} \right| = \frac{{\sqrt {1 + a^2 } }}{{\sqrt {1 + a^2 } }} = 2\rho }$

οπότε οι είκόνες των $\displaystyle{z_{(a)} }$ και $\displaystyle{z_{( - \frac{1}{a})} }$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία.

iv.

Επειδή οι εικόνες των $\displaystyle{z_{(1)} }$ και $\displaystyle{z_{( - 1)} }$ είναι αντιδιαμετρικά σημεία.Και η εικόνα του $\displaystyle{z_{(2012)} }$ είναι σημείο του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, εχω οτι το τρίγωνο που σχηματίζεται θα είναι ορθογώνιο (ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο).

Λύση επίσης δόθηκε και από τον Βασίλη Κακαβά στην διεύθυνση http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=51&t=19257

by mathxl, Sep 29, 2011, 11:25 AM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts