Διαφορική

by mathxl, Jan 23, 2012, 1:24 PM

Να βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f:R \to R}$ που είναι τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( 0 \right) = - 1}$ και $\displaystyle{{e^{ - x}}f'\left( x \right) = {f^2}\left( x \right)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

Comment

U VIEW ATTACHMENTS T PREVIEW J CLOSE PREVIEW rREFRESH

3 Comments

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Λύση από τον Σπύρο Καπελλίδη

Κατ'αρχάς, λόγω της αρχικής συνθήκης δεν μπορεί να είναι λύση η μηδενική συνάρτηση.

Συνεπώς υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ ώστε $f(x_0) \neq 0$ .

Λόγω συνέχειας της $f$ θα υπάρχει διάστημα $J$ που περιέχει το $x_0$ ώστε το $f(x)$ να είναι

ομόσημο του $f(x_0)$ για κάθε $x \in J$

Ονομάζω $I$ το μεγαλυτέρου μήκους διάστημα που έχει την παραπάνω ιδιότητα. Τότε

$\displaystyle{(1) \Leftrightarrow \frac {f^{'}(x)}{f^2(x)}=e^x,\ \forall x \in I}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(-\frac{1}{f(x)}\right)^{'}=e^x,\ \forall x \in I}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f(x)=-\frac {1}{e^x+c},\ \forall x \in I}$ (2)

Αν υποθέσουμε ότι κάποιο από τα άκρα του $I$ είναι πεπερασμένο, έστω $a$ ,

τότε προφανώς $f(a)=0$ . Αλλά $\displaystyle{0=f(a)=\displaystyle\lim_{x \to a}-\frac {1}{e^x+c}}$ , άτοπο.

Άρα $I=\mathbb{R}$ και από την αρχική συνθήκη βρίσκουμε $c=0$ .

Δηλαδή $f(x)=-e^{-x},\ \forall x \in \mathbb{R}$ , που επαληθεύει τις απαιτήσεις του προβλήματος.

by mathxl, Jan 23, 2012, 1:30 PM

Report

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Μια δεύτερη λύση από εμένα

$\displaystyle{{e^{ - x}}f'\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) - {e^x}f\left( x \right) \cdot f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }}f'\left( x \right) - {\left( {{e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }}} \right)^\prime } \cdot f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }}}}} \right)^\prime } = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }}}} = c}$ . Για $\displaystyle{x = 0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{c = - 1}$ .
Έτσι έχουμε
$\displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{{{e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }}}} = - 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - {e^{\int\limits_0^x {{e^t}f\left( t \right)dt} }} < 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Έπιστρέφουμε στην εξ υποθέσεως δοσμένη σχέση και έχουμε
$\displaystyle{{e^{ - x}}f'\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow {\left( { - \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } \Leftrightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {e^x} + m}$
Για $\displaystyle{x = 0}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{m = 0}$
Είναι λοιπόν $\displaystyle{ - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = {e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = - {e^{ - x}}}$ , $\displaystyle{x \in R}$

by mathxl, Jan 23, 2012, 1:38 PM

Report

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Επίσης μια σκιαγράφηση λύσης δόθηκε και από τον Ροδόλφο Μπόρη

Αφού $\displaystyle{f(0)=-1,f\uparrow}$ τότε
α. αν η $\displaystyle{f}$ έχει ρίζα $\displaystyle{r}$ τοτε $\displaystyle{r>0}$
b. $\displaystyle{f(x)<0,x\in (-d,d)}$
αρα θα υπάρχει $\displaystyle{q>0:f(q)=0,f(x)\ne 0 \forall x \in (-\infty .q)}$
H συνέχεια στο $\displaystyle{q}$ απαιτεί το αριστερό πλευρικό= $\displaystyle{f(q)=0}$ άρα $\displaystyle{-1/e^q=0}$ άτοπο

by mathxl, Jan 23, 2012, 1:43 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts