Εύρεση ελάχιστης τιμής ολοκληρώματος

by mathxl, May 9, 2012, 9:22 PM

Έστω α πραγματικός αριθμός. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος $\int_{0}^{1}|ax-x^{3}|dx$ .
Προτάθηκε από τον Kunny εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=296&t=478796

This post has been edited 1 time. Last edited by mathxl, May 9, 2012, 9:23 PM

Comment

2 Comments

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Μία λύση είναι η εξής: $\int_0^1 | ax - {x^3}|dx = \int_0^1 {x|} a - {x^2}|dx$
Το πρόβλημα μας είναι η άρση της απόλυτης τιμής ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός του ολοκληρώματος. Είναι φανερό ότι όταν αν $a \le 0$ τότε
$\int_0^1 | ax - {x^3}|dx = \int_0^1 {x|} a - {x^2}|dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - ax} \right)dx} = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{a{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{\alpha }{2}$
Για $a > 0$ έχουμε :
$\int_0^1 | ax - {x^3}|dx = \int_0^1 {x|} a - {x^2}|dx\mathop = \limits_{xdx = - \frac{{du}}{2}}^{a - {x^2} = u} \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^a {\left| u \right|du}$ . Βλέπουμε ότι το διάστημα της ολοκλήρωσης δεν μας εξασφαλίζει το πρόσημο του $u$ . Έτσι χρειάζεται νέα διάκριση περιπτώσεων.
Συγκεκριμένα, αν $0 < a \le 1$ τότε:
$\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^a {\left| u \right|du} = \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^0 {\left| u \right|du} + \frac{1}{2}\int\limits_0^a {\left| u \right|du} = \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^0 { - udu} + \frac{1}{2}\int\limits_0^a {udu} = \frac{{2{a^2} - 2a + 1}}{4} = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}$ .
Αν $a > 1$ τότε:
$\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^a {\left| u \right|du} = \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^a {udu} = \frac{1}{2}a - \frac{1}{4}$ .
Συνεπώς
$I\left( a \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{4} - \frac{\alpha }{2},a \le 0}\\ {\frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4},0 < a \le 1}\\ {\frac{1}{2}a - \frac{1}{4},a > 1} \end{array}} \right.$
Από εδώ και πέρα κατά τα γνωστά μπορούμε να κάνουμε μελέτη ακροτάτων.

by mathxl, May 9, 2012, 9:37 PM

Report

The post below has been deleted. Click to close.

This post has been deleted. Click here to see post.

Μία άλλη λύση είναι και η εξής
$I\left( a \right) = \int_0^1 | ax - {x^3}|dx = \int_0^1 {x|} a - {x^2}|dx\mathop = \limits_{xdx = - \frac{{du}}{2}}^{a - {x^2} = u} \frac{1}{2}\int\limits_{\alpha - 1}^a {\left| u \right|du}$
Ορίζουμε την $F\left( a \right) = \int\limits_0^a {\left| u \right|du}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αφού η ολοκληρωτέα είναι συνεχής. Παρατηρούμε ότι $I\left( a \right) = \frac{1}{2}\left( {F\left( a \right) - F\left( {a - 1} \right)} \right)$ . Σημειώνουμε ότι η ${F\left( {a - 1} \right)}$ είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων στο σύνολο των πραγματικών. Έτσι η $I$ είναι παραγωγίσιμη και για κάθε $a \in R$ έχουμε
$I'\left( a \right) = \frac{1}{2}\left( {F'\left( a \right) - F'\left( {a - 1} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right| - \left| {a - 1} \right|}}{2}$
Είναι
$I'\left( a \right) > 0 \Leftrightarrow a > \frac{1}{2},I'\left( a \right) < 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{2},I'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$ , οπότε θέση ολικού ελαχίστου το $\frac{1}{2}$ με τιμή $\min \left\{ {I\left( a \right)} \right\} = I\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left| u \right|du} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {udu} = \frac{1}{8}$

by mathxl, May 9, 2012, 9:49 PM

Report

Submit

Γεια σας! Βρηκα αυτη την ασκηση απο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=55&t=21122 και με δυσκολευει η ευρεση του τυπου της f. Ειναι ευκολο να δωσετε την απαντηση;
by lina1979, Jun 14, 2020, 3:51 PM
wha?????????????????????????
by dantx5, Nov 10, 2011, 2:09 AM
?????? ???????? ???? ???????? ????????????, ???????? ?????????? ??????????????
by bestmath, Oct 11, 2011, 10:11 PM
?????? ???????????? ???? ?????????????????? ??????! ?????????? ?????? ????????????????! ?????????? ??????????????.
by knittingfrenzy18, Sep 8, 2011, 6:56 PM

4 shouts