Difference between revisions of "1992 OIM Problems/Problem 1"

Line 28: Line 28:
 
then, <math>S_{20k+p}=k\sum_{i=1}^{20}a_i+\sum_{i=1}^{p}a_i</math>
 
then, <math>S_{20k+p}=k\sum_{i=1}^{20}a_i+\sum_{i=1}^{p}a_i</math>
  
<math>\begin{cases}
+
Now we calculate <math>a_1</math> through <math>a_{20}:
 +
 
 +
</math>\begin{cases}
 
a_{1}=\frac{(1)(2)}{2}\text{ mod }10=1\text{ mod }10=1\
 
a_{1}=\frac{(1)(2)}{2}\text{ mod }10=1\text{ mod }10=1\
 
a_{2}=\frac{(2)(3)}{2}\text{ mod }10=3\text{ mod }10=3\
 
a_{2}=\frac{(2)(3)}{2}\text{ mod }10=3\text{ mod }10=3\
Line 49: Line 51:
 
a_{19}=\frac{(19)(20)}{2}\text{ mod }10=190\text{ mod }10=0\
 
a_{19}=\frac{(19)(20)}{2}\text{ mod }10=190\text{ mod }10=0\
 
a_{20}=\frac{(20)(21)}{2}\text{ mod }10=210\text{ mod }10=0
 
a_{20}=\frac{(20)(21)}{2}\text{ mod }10=210\text{ mod }10=0
\end{cases}</math>
+
\end{cases}$
  
  

Revision as of 23:41, 13 December 2023

Problem

For each positive integer $n$, let $a_n$ be the last digit of the number. $1+2+3+\cdots +n$. Calculate $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{1992}$.

~translated into English by Tomas Diaz. ~orders@tomasdiaz.com

Solution

$a_n=\frac{n(n+1)}{2}\text{ mod } 10$

Let $k$ and $p$ be integers with $k \ge 0$, and $1 \le p \le 20$

$a_{20k+p}=\frac{(20k+p)(20k+p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\frac{20k^2+20k(p+1)+20kp+p(p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\frac{20k^2+20k(p+1)+20kp+p(p+1)}{2}\text{ mod } 10$

$a_{20k+p}=\left(10(k^2+k(p+1)+kp)+ \frac{p(p+1)}{2} \right)\text{ mod } 10$

Since $10(k^2+k(p+1)+kp)\text{ mod } 10=0$, then

$a_{20k+p}=\frac{p(p+1)}{2} \text{ mod } 10 = a_p$

Let $S_n=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

Since $a_{20k+p}=a_p$

then, $S_{20k+p}=k\sum_{i=1}^{20}a_i+\sum_{i=1}^{p}a_i$

Now we calculate $a_1$ through $a_{20}:${a1=(1)(2)2 mod 10=1 mod 10=1a2=(2)(3)2 mod 10=3 mod 10=3a3=(3)(4)2 mod 10=6 mod 10=6a4=(4)(5)2 mod 10=10 mod 10=0a5=(5)(6)2 mod 10=15 mod 10=5a6=(6)(7)2 mod 10=21 mod 10=1a7=(7)(8)2 mod 10=28 mod 10=8a8=(8)(9)2 mod 10=36 mod 10=6a9=(9)(10)2 mod 10=45 mod 10=5a10=(10)(11)2 mod 10=55 mod 10=5a11=(11)(12)2 mod 10=66 mod 10=6a12=(12)(13)2 mod 10=78 mod 10=8a13=(13)(14)2 mod 10=91 mod 10=1a14=(14)(15)2 mod 10=105 mod 10=5a15=(15)(16)2 mod 10=120 mod 10=0a16=(16)(17)2 mod 10=136 mod 10=6a17=(17)(18)2 mod 10=153 mod 10=3a18=(18)(19)2 mod 10=171 mod 10=1a19=(19)(20)2 mod 10=190 mod 10=0a20=(20)(21)2 mod 10=210 mod 10=0$


Alternate solutions are always welcome. If you have a different, elegant solution to this problem, please add it to this page.

See also

https://www.oma.org.ar/enunciados/ibe7.htm