2011 IMO Problems/Problem 6

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcircle $\Gamma$. Let $\ell$ be a tangent line to $\Gamma$, and let $\ell_a, \ell_b$ and $\ell_c$ be the lines obtained by reflecting $\ell$ in the lines $BC$, $CA$ and $AB$, respectively. Show that the circumcircle of the triangle determined by the lines $\ell_a, \ell_b$ and $\ell_c$ is tangent to the circle $\Gamma$.

Solution

Without loss of generality, let $\Gamma$ be the unit circle and let $\ell$ be the line $y=1$.

Denote the coordinates of $A,B,C$ by $(x_a, y_a)$ and similarly for B and C.

We get $x_a^2+y_a^2=1$, ...

The equation for line $AB$ is $\frac{x-x_a}{y-y_a}=\frac{x-x_b}{y-y_b}$

Through a little bash, (0,1) reflects to $(\frac{(-x_a+x_b+x_by_a)(y_b-_a)}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}, \frac{(x_by_a-x_ay_b)(x_a-x_b)+(y_a-y_b)^2}{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$. $(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2$ simplifies to $-(2x_ax_b+2y_ay_b)$. The terms for the other 2 are symmetric. The intersection point must reflect to itself, and the equation is $(\frac{x_by_a-x_ay_b-x_a+x_b}{y_b-y_a}, 1)$.

It is trivial to find the intersections of a,b and their perpendicular bisectors, so this is left to the reader as an exercise.

Regardless, the circumcenter and an intersection of the circles are collinear with (0,0), so it is a tangency.

-Trex4days reereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereeree

See Also

Invalid username
Login to AoPS