ln2(21+x)ln3(2x1+x)=−ln22ln3(1+x)+2ln2ln4(1+x)−ln5(1+x)+3ln22ln2(1+x)ln(2x)−6ln2ln3(1+x)ln(2x)+3ln4(1+x)ln(2x)−3ln22ln(1+x)ln2(2x)+6ln2ln2(1+x)ln2(2x)−3ln3(1+x)ln2(2x)+ln22ln3(2x)−2ln2ln(1+x)ln3(2x)+ln2(1+x)ln3(2x)
I4=3ln22∫01ln2(1+x)ln(2x)(1+x)2dx=3ln22∫01ln2(1+x)lnx(1+x)2dx+3ln32∫01ln2(1+x)(1+x)2dx
I5=−6ln2∫01ln3(1+x)ln(2x)(1+x)2dx=−6ln2∫01ln3(1+x)lnx(1+x)2dx−6ln22∫01ln3(1+x)(1+x)2dx
I51=∫01ln3(1+x)lnx(1+x)2dx=∫01ln3(1+x)x(1+x)dx+3∫01lnxln2(1+x)(1+x)2dx=∫01ln3(1+x)xdx−∫01ln3(1+x)1+xdx+3∫01lnxln2(1+x)(1+x)2dx=[−6Li4(12)−214ln2ζ(3)+115π4−14ln42+14π2ln22]−ln424+3[14ζ(3)+π26−13ln32−ln22−2ln2]=−6Li4(12)−214ln2ζ(3)+115π4−12ln42−ln32+14π2ln22+34ζ(3)+π22−3ln22−6ln2
I61=∫01ln4(1+x)lnx(1+x)2dx=∫01ln4(1+x)x(1+x)dx+4∫01lnxln3(1+x)(1+x)2dx=∫01ln4(1+x)xdx−∫01ln4(1+x)1+xdx+4∫01lnxln3(1+x)(1+x)2dx=[−24Li5(12)−24ln2Li4(12)+24ζ(5)−212ln22ζ(3)−45ln52+23π2ln32]−15ln52+4[−6Li4(12)−214ln2ζ(3)+115π4−12ln42−ln32+14π2ln22+34ζ(3)+π22−3ln22−6ln2]=−24Li5(12)−24Li4(12)−24ln2Li4(12)+24ζ(5)−212ln22ζ(3)−21ln2ζ(3)−ln52+415π4−2ln42−4ln32+23π2ln32+π2ln22+3ζ(3)+2π2−12ln22−24ln2
I7=−3ln22∫01ln(1+x)ln2(2x)(1+x)2dx=−3ln22∫01ln(1+x)ln2x(1+x)2dx−3ln42∫01ln(1+x)(1+x)2dx−6ln32∫01ln(1+x)lnx(1+x)2dx
I71=∫01ln(1+x)ln2x(1+x)2dx=∫01ln2x(1+x)2dx+2∫01ln(1+x)lnxx(1+x)dx=∫01ln2x(1+x)2dx+2∫01ln(1+x)lnxxdx−2∫01ln(1+x)lnx1+xdx=16π2+2[−34ζ(3)]−2[−18ζ(3)]=−54ζ(3)+16π2
I8=6ln2∫01ln2(1+x)ln2(2x)(1+x)2dx=6ln2∫01ln2(1+x)ln2x(1+x)2dx+6ln32∫01ln2(1+x)(1+x)2dx+12ln22∫01ln2(1+x)lnx(1+x)2dx
I81=∫01ln2(1+x)ln2x(1+x)2dx=2∫01ln(1+x)ln2x(1+x)2dx+2∫01ln2(1+x)lnxx(1+x)dx=2∫01ln2x(1+x)2dx+4∫01ln(1+x)lnxx(1+x)dx+2∫01ln2(1+x)lnxxdx−2∫01ln2(1+x)lnx1+xdx=2∫01ln2x(1+x)2dx+4∫01ln(1+x)lnxxdx−4∫01ln(1+x)lnx1+xdx+2∫01ln2(1+x)lnxxdx−2∫01ln2(1+x)lnx1+xdx=2⋅16π2+4[−34ζ(3)]−4[−18ζ(3)]+2[−4Li4(12)−72ln2ζ(3)+124π4−16ln42+16π2ln22]−2[2Li4(12)+74ln2ζ(3)−145π4+112ln42−112π2ln22]=−12Li4(12)−212ln2ζ(3)−52ζ(3)+23180π4−12ln42+12π2ln22+13π2
I83=∫01ln2(1+x)lnx(1+x)2dx=∫01ln2(1+x)x(1+x)dx+2∫01lnxln(1+x)(1+x)2dx=∫01ln2(1+x)xdx−∫01ln2(1+x)1+xdx+2∫01lnx(1+x)2dx+2∫01ln(1+x)x(1+x)dx=∫01ln2(1+x)xdx−∫01ln2(1+x)1+xdx+2∫01lnx(1+x)2dx+2∫01ln(1+x)xdx−2∫01ln(1+x)1+xdx=14ζ(3)−ln323+2(−ln2)+2⋅π212−2⋅ln222=14ζ(3)+π26−13ln32−ln22−2ln2
I9=−3∫01ln3(1+x)ln2(2x)(1+x)2dx=−3∫01ln3(1+x)ln2x(1+x)2dx−3ln22∫01ln3(1+x)(1+x)2dx−3ln2∫01ln3(1+x)lnx(1+x)2dx
I91=∫01ln3(1+x)ln2x(1+x)2dx=2∫01lnxln3(1+x)x(1+x)dx+3∫01ln2xln2(1+x)(1+x)2dx=2∫01lnxln3(1+x)xdx−2∫01lnxln3(1+x)1+xdx+3∫01ln2xln2(1+x)(1+x)2dx=2[−12Li5(12)−12ln2Li4(12)+12π2ζ(3)+9916ζ(5)−25ln52+13π2ln32−214ln22ζ(3)]−2[6Li5(12)+6ln2Li4(12)−6ζ(5)+218ln22ζ(3)+15ln52−16π2ln32]+3[−12Li4(12)−212ln2ζ(3)−52ζ(3)+23180π4−12ln42+12π2ln22+13π2]=−36Li5(12)−36Li4(12)−36ln2Li4(12)+π2ζ(3)+1958ζ(5)−152ζ(3)−65ln52+π2ln32−634ln22ζ(3)−632ln2ζ(3)+2360π4−32ln42+32π2ln22+π2
I93=I51=∫01ln3(1+x)lnx(1+x)2dx=−6Li4(12)−214ln2ζ(3)+115π4−12ln42−ln32+14π2ln22+34ζ(3)+π22−3ln22−6ln2
I11=−2ln2∫01ln(1+x)ln3(2x)(1+x)2dx=−2ln42∫01ln(1+x)(1+x)2dx−6ln32∫01ln(1+x)lnx(1+x)2dx−6ln22∫01ln(1+x)ln2x(1+x)2dx−2ln2∫01ln(1+x)ln3x(1+x)2dx
I114=∫01ln(1+x)ln3x(1+x)2dx=∫01ln3x(1+x)2dx+3∫01ln(1+x)ln2xx(1+x)dx=∫01ln3x(1+x)2dx+3∫01ln(1+x)ln2xxdx−3∫01ln(1+x)ln2x1+xdx=−92ζ(3)+3⋅7π4360−3[4Li4(12)+72ln2ζ(3)−124π4+16ln42−16π2ln22]=−12Li4(12)−212ln2ζ(3)−92ζ(3)+1160π4−12ln42+12π2ln22
I12=∫01ln2(1+x)ln3(2x)(1+x)2dx=ln32∫01ln2(1+x)(1+x)2dx+3ln22∫01ln2(1+x)lnx(1+x)2dx+3ln2∫01ln2(1+x)ln2x(1+x)2dx+∫01ln2(1+x)ln3x(1+x)2dx
I124=∫01ln2(1+x)ln3x(1+x)2dx=2∫01ln(1+x)ln3x(1+x)2dx+3∫01ln2(1+x)ln2xx(1+x)dx=2∫01ln(1+x)ln3x(1+x)2dx+3∫01ln2(1+x)ln2xxdx−3∫01ln2(1+x)ln2x1+xdx=2[−12Li4(12)−212ln2ζ(3)−92ζ(3)+1160π4−12ln42+12π2ln22]+3[13π2ζ(3)−295ζ(5)]−3[8Li5(12)+8ln2Li4(12)−338ζ(5)−13π2ζ(3)+72ln22ζ(3)+415ln52−29π2ln32]=−24Li5(12)−24Li4(12)−24ln2Li4(12)−20140ζ(5)−212ln22ζ(3)−21ln2ζ(3)+2π2ζ(3)−9ζ(3)+1130π4−ln42+π2ln22−45ln52+23π2ln32
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