2011 IMO Problems/Problem 6
Let be an acute triangle with circumcircle
. Let
be a tangent line to
, and let
and
be the lines obtained by reflecting
in the lines
,
and
, respectively. Show that the circumcircle of the triangle determined by the lines
and
is tangent to the circle
.
Solution
Without loss of generality, let be the unit circle and let
be the line
.
Denote the coordinates of by
and similarly for B and C.
We get , ...
The equation for line is
Through a little bash, (0,1) reflects to .
simplifies to
. The terms for the other 2 are symmetric.
The intersection point must reflect to itself, and the equation is
.
It is trivial to find the intersections of a,b and their perpendicular bisectors, so this is left to the reader as an exercise.
Regardless, the circumcenter and an intersection of the circles are collinear with (0,0), so it is a tangency.
-Trex4days reereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereereeree