Forums
be real numbers such that 
and 
,
.
for all 
for which the number 
is a perfect square.
such that the centroid of the triangle lies on the circle inscribed in the triangle. Prove that 
we can find positive integers 
such that 
.
numbers with a common divisor 
)
is a triangle. Show that 
be the common chord of two circles 
and 
.
intersects 
and 
.
be a point on the segment 
and 
intersect 
and 
.
intersects 
and 
.
lie on the circumference of a circle 
.
,
is perpendicular to 
.
different types of stones.
has positive integer solutions.
,
is even.
and 
are primes.
be the sequence of Fibonacci numbers: 
,
and 
, for every 
.
,
.
Y by Mango247, cubres
issue 1 ..,
Click to reveal hidden text
Click to reveal hidden text
Γραμμικά Συστήματα 2x2 στα σχολικά βιβλία μαθηματικών
ΒΓ 1 Δώδεκα μικρά λεωφορεία των 8 και 14 ατόμων μεταφέρουν συνολικά 126 επιβάτες. Πόσα λεωφορεία είναι των 8 και πόσα των 14 ατόμων;
2 .Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου;
ΓΓ 3. Ο κερματοδέκτης ενός μηχανήματος πώλησης αναψυκτικών δέχεται κέρματα των 50 λεπτών και του 1 ευρώ. Όταν ανοίχτηκε, διαπιστώθηκε ότι περιείχε 126 κέρματα συνολικής αξίας 90 ευρώ. Πόσα κέρματα υπήρχαν από κάθε είδος;
4. Συσκευάσαμε 2,5 τόνους ελαιόλαδου σε 800 δοχεία των 2 και 5 κιλών. Να βρείτε πόσα δοχεία χρησιμοποιήσαμε από κάθε είδος.
5. O μέσος όρος της βαθμολογίας ενός μαθητή στη Φυσική και τη Χημεία κατά το πρώτο τρίμηνο ήταν 16. Στο δεύτερο τρίμηνο ο βαθμός της Φυσικής μειώθηκε κατά 2 μονάδες, ο βαθμός της Χημείας αυξήθηκε κατά 4 μονάδες με αποτέλεσμα οι δύο βαθμοί να γίνουν ίσοι. Ποιους βαθμούς είχε ο μαθητής σε καθένα από τα δύο μαθήματα κατά το πρώτο τρίμηνο;
6. Αν οι μαθητές ενός τμήματος καθίσουν ανά ένας σε κάθε θρανίο, τότε θα μείνουν όρθιοι 8 μαθητές, ενώ αν καθίσουν ανά δύο θα μείνουν κενά 4 θρανία. Να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές και πόσα τα θρανία.
7. Μια ποτοποιία παρασκεύασε 400 λίτρα ούζο περιεκτικότητας 38% vol, αναμειγνύοντας δύο ποιότητες με περιεκτικότητες 32% vol και 48% vol αντίστοιχα. Πόσα λίτρα από κάθε ποιότητα χρησιμοποίησε;
8. Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν 1810 €. Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 € και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2 €, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες.
9. Σ' ένα τηλεοπτικό παιχνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις και για κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί, ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρούνται βαθμοί. Ένας παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 64 βαθμούς, ενώ ένας άλλος έδωσε 4 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 28 βαθμούς. Πόσους βαθμούς παίρνει ένας παίκτης για κάθε σωστή απάντηση και πόσοι βαθμοί τού αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη απάντηση;
10. Να βρείτε τις ηλικίες δύο αδελφών, αν σήμερα διαφέρουν κατά 5 χρόνια, ενώ μετά από 11 χρόνια οι ηλικίες τους θα έχουν λόγο 4/3.
11. Σ ´ ένα ταξίδι με πλοίο, το εισιτήριο της Α΄ θέσης κοστίζει 18 € και της Β΄ θέσης κοστίζει 6 € λιγότερα. Αν σ ´ ένα ταξίδι κόπηκαν 350 εισιτήρια συνολικής αξίας 4500 €, να βρείτε πόσα εισιτήρια κόπηκαν από κάθε κατηγορία.
12. Να βρείτε ένα διψήφιο αριθμό, που το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 10 και αν εναλλάξουμε τα ψηφία του, τότε θα προκύψει αριθμός κατά 18 μικρότερος.
ΑΛ. 13. Από κεφάλαιο 4000 € ένα μέρος του κατατέθηκε σε μια τράπεζα προς 5% και το υπόλοιπο σε μια άλλη τράπεζα προς 3%. Ύστερα από 1 χρόνο εισπράχθηκαν συνολικά 175€ τόκοι. Ποιο ποσό τοκίστηκε προς 5% και ποιο προς 3%;
14 Πόσο καθαρό οινόπνευμα πρέπει να προσθέσει ένας φαρμακοποιός σε 200ml διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 15%, για να πάρει διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 32%;
BΛ. 15. Ένα ξενοδοχείο έχει 26 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;
16. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4€. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτομα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι
ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.
17. Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ;
ΒΓ 1 Δώδεκα μικρά λεωφορεία των 8 και 14 ατόμων μεταφέρουν συνολικά 126 επιβάτες. Πόσα λεωφορεία είναι των 8 και πόσα των 14 ατόμων;
2 .Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου;
ΓΓ 3. Ο κερματοδέκτης ενός μηχανήματος πώλησης αναψυκτικών δέχεται κέρματα των 50 λεπτών και του 1 ευρώ. Όταν ανοίχτηκε, διαπιστώθηκε ότι περιείχε 126 κέρματα συνολικής αξίας 90 ευρώ. Πόσα κέρματα υπήρχαν από κάθε είδος;
4. Συσκευάσαμε 2,5 τόνους ελαιόλαδου σε 800 δοχεία των 2 και 5 κιλών. Να βρείτε πόσα δοχεία χρησιμοποιήσαμε από κάθε είδος.
5. O μέσος όρος της βαθμολογίας ενός μαθητή στη Φυσική και τη Χημεία κατά το πρώτο τρίμηνο ήταν 16. Στο δεύτερο τρίμηνο ο βαθμός της Φυσικής μειώθηκε κατά 2 μονάδες, ο βαθμός της Χημείας αυξήθηκε κατά 4 μονάδες με αποτέλεσμα οι δύο βαθμοί να γίνουν ίσοι. Ποιους βαθμούς είχε ο μαθητής σε καθένα από τα δύο μαθήματα κατά το πρώτο τρίμηνο;
6. Αν οι μαθητές ενός τμήματος καθίσουν ανά ένας σε κάθε θρανίο, τότε θα μείνουν όρθιοι 8 μαθητές, ενώ αν καθίσουν ανά δύο θα μείνουν κενά 4 θρανία. Να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές και πόσα τα θρανία.
7. Μια ποτοποιία παρασκεύασε 400 λίτρα ούζο περιεκτικότητας 38% vol, αναμειγνύοντας δύο ποιότητες με περιεκτικότητες 32% vol και 48% vol αντίστοιχα. Πόσα λίτρα από κάθε ποιότητα χρησιμοποίησε;
8. Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν 1810 €. Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2 € και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2 €, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες.
9. Σ' ένα τηλεοπτικό παιχνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις και για κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί, ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρούνται βαθμοί. Ένας παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 64 βαθμούς, ενώ ένας άλλος έδωσε 4 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 28 βαθμούς. Πόσους βαθμούς παίρνει ένας παίκτης για κάθε σωστή απάντηση και πόσοι βαθμοί τού αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη απάντηση;
10. Να βρείτε τις ηλικίες δύο αδελφών, αν σήμερα διαφέρουν κατά 5 χρόνια, ενώ μετά από 11 χρόνια οι ηλικίες τους θα έχουν λόγο 4/3.
11. Σ ´ ένα ταξίδι με πλοίο, το εισιτήριο της Α΄ θέσης κοστίζει 18 € και της Β΄ θέσης κοστίζει 6 € λιγότερα. Αν σ ´ ένα ταξίδι κόπηκαν 350 εισιτήρια συνολικής αξίας 4500 €, να βρείτε πόσα εισιτήρια κόπηκαν από κάθε κατηγορία.
12. Να βρείτε ένα διψήφιο αριθμό, που το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 10 και αν εναλλάξουμε τα ψηφία του, τότε θα προκύψει αριθμός κατά 18 μικρότερος.
ΑΛ. 13. Από κεφάλαιο 4000 € ένα μέρος του κατατέθηκε σε μια τράπεζα προς 5% και το υπόλοιπο σε μια άλλη τράπεζα προς 3%. Ύστερα από 1 χρόνο εισπράχθηκαν συνολικά 175€ τόκοι. Ποιο ποσό τοκίστηκε προς 5% και ποιο προς 3%;
14 Πόσο καθαρό οινόπνευμα πρέπει να προσθέσει ένας φαρμακοποιός σε 200ml διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 15%, για να πάρει διάλυμα οινοπνεύματος περιεκτικότητας 32%;
BΛ. 15. Ένα ξενοδοχείο έχει 26 δωμάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68 κρεβάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;
16. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4€. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτομα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι
ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.
17. Ένας χημικός έχει δύο διαλύματα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικότητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδροχλωρικό οξύ. Ποια ποσότητα από κάθε διάλυμα πρέπει να αναμείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυμα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ;
This post has been edited 166 times. Last edited by parmenides51, May 20, 2024, 10:06 AM
mile due north, then 
miles due east, then 
miles due south, and then 
miles due west. How far, in miles, is he from his starting position? (Assume that the Earth is flat.)
with 
parallel to 
has 
,
,
,
.
and 
intersect at 
intersects 
.
?
lie in that order on a circle such that 
,
,
. Let 
.
.
and the area of 
is twice the area of 
,
?
,
and 
be points on segment 
and 
.
be the 
.
for relatively prime positive integers 
and 
.
on a plane. Across all possible configurations of those two segments, determine the maximum possible area of quadrilateral 
.
be the incenter and 
bisects 
,
,
,
can be expressed as 
.
,
,
,
,
.
and the area of 
is 
,
that divides the square into two pieces with equal area. The minimum possible area of the resulting shape is 
.
.
and let points 
,
,
.
.
intersects 
,
,
is acute, and the area of 
,
?
and 
.
be the circumcircle of triangle 
intersects 
,
.
, 
,
.
.
and 
,
?
and 
have radii 
is externally tangent to both 
,
,
and 
and to the side 
.
and 
.
.
,
.
.
for some positive integer 
and 
.
and a point ![$$[PBC] : [PCD] : [PDA] = 1 : k : 3,$$](http://latex.artofproblemsolving.com/b/2/e/b2e56b1f64ab936cb041a3e0f62b3fcbde3d4c94.png)
where ![$[XYZ]$](http://latex.artofproblemsolving.com/c/7/6/c7608a3e97e44fc5bcf0cd62a1f7dfc0a0a2e7d4.png)
denotes the area of triangle 
.
,
be points on 
,
and 
.
,
,
,
.
and 
intersects the circle with center 
for relatively prime positive integers 
and 
,
,
,
,
,
has 
and 
with 
and 
.
is 20, the area of 
is 24, and the area of 
is 26, the area of 
be a triangle with 
.
and 
,
where 
,
,
are positive integers. Find 
.
is inscribed in square 
is on 
is on 
.
hits 
hits 
respectively. If the area of 
, then the area of 
can be expressed as 
for relatively prime positive integers 
through 
.
can be expressed as 
where 
and 
.
of triangle 
.
can be expressed as 
is the diameter of its circumcircle. Given 
,
,
at two points 
can be expressed as a fraction 
.
and 
.
is the orthocenter of 
then the area of 
can be expressed in the form 
where 
.
be the point such that 
and 
.
and the circumradius of 
is 
let 
and 
lie on a line. If 
and 
,
.
be the points of tangency of 
respectively. Let 
and line 
.
,
,
.
is inscribed in a circle, and 
are the midpoints of segments 
and 
are 
and 
,
.
and 
as the line through 
.
is the line through 
is the line through 
.
form a triangle with perimeter 
.
.
are positive integers with 
is the point diametrically opposite 
is the point diametrically opposite 
passes through the midpoint of 
and 
.
be the 
-
is perpendicular to 
and 
,
can be expressed as 
,
and 
.
be an equiangular hexagon. Let 
.
,
,
.
.
,
and 
and 
.
and 
are equal. Prove that 
