and 
be positive real numbers such that 
.![\[
\frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)}+\frac{y^{3}}{(1 + z)(1 + x)}+\frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)}
\geq \frac{3}{4}.
\]](http://latex.artofproblemsolving.com/5/6/5/56568d27a296f1c900fabbb1042549cd2e552e29.png)
,![\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]](http://latex.artofproblemsolving.com/b/2/f/b2ff456632d4dd3b9ed93e4cba437bdd34d54cd8.png)
Y by
Sea n un numero natural con mas de 2021 dıgitos donde ninguno de el-
los es 8 o 9. Suponga que n no tiene factores comunes con 2021. Demuestre que es posible
aumentar uno de los dıgitos de n en a lo mas 2 de modo que el numero resultante sea multiplo
de 2021.
los es 8 o 9. Suponga que n no tiene factores comunes con 2021. Demuestre que es posible
aumentar uno de los dıgitos de n en a lo mas 2 de modo que el numero resultante sea multiplo
de 2021.
