Presupun ca acel "ilustru" necunoscut dintre matematicienii grupului de lucru s-a inspirat de pe net. Iata aici scrie limpede "românii sunt urmasii dacilor" si apar pe net o sumedenie de link - uri dintre care unele incearca sa faca plauzibila aceasta ipoteza si altele se straduiesc sa o si demonstreze. Poate pentru unii este interesant, insa eu nu am citit decat titlurile. Pe mine mai putin ma intereseaza daca românii sunt urmasi ai romanilor sau românii sunt urmasii dacilor". Am convingerea ca "adevarul istoric" este alunecos de la un secol la altul si nu ma mira sa existe "adevar istoric" care sa "alunece artistic" chiar de la un mileniu la altul. Daca se va rescrie "Istoria Românilor", atunci o voi citi cu deosebita satisfactie. De exemplu Miceal Ledwith, confident al Papei Ioan Paul al II-lea şi omul care a avut acces la toate documentele secrete din biblioteca Vaticanului, a făcut recent o afirmaţie care a şocat lumea academică şi nu numai. El a declarat că latina cultă se trage din limba română străveche, nu invers, cum se credea până acum! Daca dupa aprox. 2000 de ani noi credem ca "romanii sunt urmasii Romei", atunci sa nu ne mire ca trebuie sa asteptam inca 2000 de ani sa credem ca "românii sunt urmasii dacilor". Inchei cu primul rand din "semnatura" mea (printr-un click pe secventa "anonim" veti face cunostinta cu autorul acestei fraze): "A nu preda Istoria este cel mai mare păcat, ca şi cum cineva ţi-ar ucide părinţii pentru a te adopta" - anonim.

Eu am mentionat doar de unde probabil s-ar fi inspirat acel "ilustru" necunoscut din grupul celor 6. Eu nu sunt istoric si n-am nimic impotriva teoriilor acestora, oricare ar fi ele. Eu nu am afirmat nicaieri ca aceste noi teorii sunt cele adevarate, dar nici cele false. Va las pe voi, cei cu "gandire istorica" sa despartiti adevarul de fals. Doar am semnalat existenta acestor noi teorii pe net. V-am spus doar ca nu am citit la teoriile astea "noi" decat titlurile. Fiecare cu meseria lui. Din contra, eu sustin predarea Istoriei la gimnaziu, daca se poate chiar doua ore pe saptamana. Imi place Istoria ca o poveste, precum si Biblia. Si asta este placerea mea, nu are nimeni dreptul sa mi-o confişte. Eu nu inteleg cum niste matematicieni isi dau cu parerea despre niste evenimente istorice atata vreme cat sunt atatia "monstri sacri", chiar academicieni in istorie (vezi Dinu Giurescu). Romanii de la o vreme au devenit insuportabili, din ce in ce mai multi sunt cei care se pricep la toate. Asa a ajuns si "strada" sa-si dea cu parerea despre orice.

X: Pentru a demonta astfel de teorii este nevoie de gandire istorica. Gandirea istorica se dobandeste chiar mai greu decat gandirea
matematica. In matematica 1+1=2, in istorie in primul rand dar si in cazul altor stiinte umaniste sau a limbii romane si a limbilor straine
chestiunile sunt mult mai complexe si prin urmare construirea unei linii de argumentare trebuie sustinuta de o gandire deosebita.
EU: Va referiti la "teoriile" Roesler, Roller, daco-romana, daco-pelasgiana si cate or mai fi ?! Este evident ca printre atatea teorii contradictorii este nevoie de un alt soi de "gandire", sa-i zicem ca dvs. "gandire istorica", care se dobandeste (ziceti dvs.) mai greu decat gandirea matematica, insa difera esential de gandirea matematica (zic eu). Nu m-am prins de ce "chestiunile sunt mult mai complexe" si acestea necesita "construirea unei linii de argumentare sustinuta" de o "gandire istorica" deosebita. Nu prea sunt obisnuit cu un asemenea limbaj care ascunde niste fisuri subiective pe unde se pot strecura indoieli care creaza dispute precum in justitie. De fapt asta-i partea "urâtă" a Istoriei si care de regula este speculata in politica pentru manipularea maselor pana la invrajbirea intre popoare. Deduc de aici ca exista mai multe feluri de "a gândi istoric" si fiecare fel genereaza o anumita "Istorie" cu pretentia uneori hilara de a detine "adevarul istoric". Aceste "Istorii" luate impreuna alcatuiesc adevarata "ISTORIE" a omenirii care cam seamana cu "Istoria Religiilor". Probabil acesta-i si motivul pentru care istoria nu este considerata stiinta si face parte din disciplinele socio-umane. In general, un domeniu de cercetare devine o stiinta din momentul in care acumularea in timp de observatii/date/informatii produce un salt calitativ prin exprimarea unor legi in limbaj matematic care leaga aceste date (constante sau variabile) intre ele si care permit ca un fenomen sa fie definit printr-un "model matematic".
Ma bucur ca profesorii de istorie discuta problema "simbiozei naţionale" si "altfel", in contextul noului plan cadru de la gimnaziu. Si acum sa-mi exprim si eu o parere "naivă" relativ la ce inseamna a fi român. Dupa cate am invatat la istorie in clasele primare, pe pamânturile tarii mele s-au perindat numeroase naţii de-a lungul istoriei milenare a acestui neam. Ţăranii stateau cu securea sub perna sa-si apere pamantul de navalirea altor popoare. Daca ar exista un microscop care sa masoare cat la suta din sangele meu pe arborele meu genealogic este de provenienta daco-romana, tatara, gotica, hunica, slava, turca etc sunt convins că român nici un sfert nu mai sunt. Amestecarea naţiilor duce la revitalizarea comunitatilor omenesti (vezi exemplul poporului american) si nicidecum la invrajbirea lor. Eu admir acest popor american, desi sunt convins ca unora nu le place acest fapt. Europenii au fost, sunt si vor mai fi multa vreme cu mult mai xenofobi decat acest popor american. Si ca un fapt divers va spun si voua, dragi colegi, ca primele notiuni de istorie le-am capatat de la tatal meu care mi-a declarat intr-o buna zi cand eram prin clasa I - a, "tine minte baiete, tu esti macedonean" si a desfasurat un sul mare de hartie groasa care continea arborele nostru genealogic din 1827 cu promisiunea ca-mi va povesti istoria neamului meu. Si multi ani la rand asteptam cu sufletul la gura cate un episod din aceasta minunata poveste. Sper ca si copiii din ziua de astazi sa afle la scoala cine sunt stramosii lor si ce-au realizat pe acest pamant de-a lungul a cel putin doua milenii. Va ofer un alt exemplu. Astazi 26 Februarie 2016 Laszlo Tokes a pierdut definitiv distincţia "Steaua României în grad de cavaler", dupa ce o primise în 2009, de la preşedintele Traian Băsescu, pentru meritele avute la Revoluţie. Intreb profesorii de istorie daca au aflat dupa un sfert de veac care a fost rolul sau contributia reala a fostului prelat la evenimentele din 1989?!
X:Nu doar istoria (sau măcar un capitol al ei) a fost exploatată politic! Vă amintesc, de exemplu, că în perioda
stalinistă literatura română a fost cumplit mutilată (vezi ''Punguţa cu doi bani'' în stil proletcultist!)
EU:Si care-i problema, a zis cineva ca numai Istoria a fost exploatata politic?! O scuza cu ceva daca astazi sau in anumite etape istorice unii exploateaza politic literatura, uneori chiar pana la mutilare?! Se poate dovedi usor ca acolo unde este consfintit dreptul libertatii de exprimare in virtutea caruia orice scriitor isi poate exprima optiunile politice, exista posibilitatea ca literatura sa fie exploatata politic, insa niciodata nu a indraznit nimeni pana la mutilare cum s-a intamplat sub unele dictaturi (comunista, fascista sau de alt soi; oare au mai existat si alte soiuri?!). Acesta este inca un motiv in plus pentru ca Istoria sa nu fie stiinta si sa fie plasata printre disciplinele socio-umane.

X: O cultura umanista se formeaza intr-un timp mai indelungat decat memorat ceva formule, presupune mult mai multe lecturi si timp petrecut prin biblioteci. Aceasta v-o spune un absolvent al unuia dintre cele mai bune licee de informatica din tara, cel putin la acea vreme (Liceul Grigore Moisil din Iasi). Timp de 4 ani am mancat matematica pe paine (cam 8 ore pe saptamana, la nivel de olimpiada). Atat de multa, incat mi s-a acrit. Pentru ca mi-am dat seama ca nu ma formeaza ca om si ca nu vreau sa ajung un robotel in slujba unei corporatii, gol pe inauntru. Apoi 8 ani de istorie (facultate, masterat, doctorat). Cumplit de greu, dar a meritat. Credeti-ma ca matematica mi s-a parut floare la ureche. Asadar, sunt mai indreptatit decat dvs sa apreciez.
EU:Simt ca acum si aici te paste ghinionul. Intamplator am fost cercetator in matematica aplicata la un Institut de Cercetari in Telecomunicatii si in ultimul timp profesor de matematica (15 ani) la un liceu cum iti place tie sa zici, de elita, in buricul targului. Zici ca "timp de 4 ani ai mancat matematica pe paine la nivel de olimpiada" de ti s-a acrit si vrei sa te cred. Asa interpretezi tu Istoria Matematicii? Daca dupa 4 ani ti s-a acrit inseamna ca n-ai inteles nimic din ea. Dar dupa opt ani de istorie inca nu ti s-a acrit?! Ia spune tu cum ti-ai dat seama ca matematica nu te formeaza ca om?! Vorbesti ca un ţuţăr (cauta la dex ce inseamna!) si nu ca un om "format". Din acesti ani cati au fost la catedra?! Eu vorbesc frumos de Istorie (vezi postarea mea precedenta pe care am repetat-o ca nu cumva sa zici ca n-ai citit-o) desi sunt doctor in mate din 1979 si matale afirmi ca-s "gol pe dinauntru si un eventual fost robotel in slujba unei corporatii". Eu cred ca, dupa cum te exprimi, esti o acritura cu mult inainte de a ti se acri de matematica. Ma indoiesc de ceea ce spui, prea repede ai ajuns doctor in istorie, dupa opt ani in care ai facut si o facultate cu masterat. Mi-ar face o placere deosebita ca pe acest topic sa urmaresc mai mult un dialog intre istorici, in general intre socio-umanisti decat a compara istoria cu matematica sau cu celelalte stiinte. Si ca sa va convingeti ca iubesc istoria neamului meu va rog sa renuntati la acest orgoliu si sa ne oferiti o explicatie la ce se intampla astazi in Romania. Acad. Dinu C. Giurescu si-a spus recent o parere in mass-media. O cunoasteti?! Daca nu, o gasiti usor pe net. Va multumesc.
E: Dintre toți cei care au postat până la acest mesaj (inclusiv), niciunul n-are mai multă dreptate decât ceilalți !!! și nici mai puțină... îmi pare rău (pentru mine), dar este dureros să vezi că oameni care au dreptate fiecare în felul său nu reușesc să înțeleagă ȘI dreptatea celorlalți... gândiți-vă la ce simt cei mici atunci când părinții lor se ceartă. Este aceeași sen ... este același sentiment ...
EU: Nu-mi place deloc cuvantul "inclusiv" pe care l-ati folosit mai sus pentru mesajul meu precedent. Va puteti imagina ce dispret are acest user fata de un matematician sau fata de un om de stiinţă ?! Sa va repet ce glasuieste tipul pentru a fi sigur ca-mi intelegeti revolta destul de tarzie ... "nu vreau sa ajung un robotel in slujba unei corporatii, gol pe inauntru". Acesta habar n-are cum arata o corporatie, un institut de cercetare aplicativa, un centru de calcul sau o intreprindere automatizata in care o sumedenie de roboti sunt supravegheati prin informatica de proces in timp real si in care rareori intalnesti niste fiinte vii etc. O fi intrat saracu' vreodata intr-un laborator de cercetare aplicativa sa citeasca bucuria de pe chipurile unei echipe formate din cercetatori, proiectanti si informaticieni, tehnicieni, maistri si muncitori care au participat la testarea unui produs care a confirmat rezultatele mult asteptate ca dupa o lansare reusita in cosmos?! Chiar sunt foarte curios sa aflu cu ce se ocupa acum "preafericitul", si-a implinit visul, mai exact este plin pe inauntru si liber ca pasarea cerului, s-a "format" ca "om", fara sefi carora sa le dea raportul?! Exista multi habarnisti in tara asta, greu gasesti unul care stie ce-i aceea cercetare aplicativa si pasiunea de a crea ceva pentru a imbunatati eforturile unor oameni care nu-ti vor ramane datori o viata intreaga prin respectul pe care ti-l poarta. Esti cu mult mai bogat sufleteste decat oricat ai castiga financiar, chiar daca salariul n-ar fi deloc de neglijat. Si daca esti "meserias", se mai poate intampla ceva in cercetare si proiectare in cadrul unei "corporatii" (despre care zici ca "te goleste pe inauntru", ceea ce eu inteleg ca te "omoara" ca pe un porc de Craciun): sa stai in preajma unui patron care-i interesat sa faca economii pentru a se lansa in noi investitii. Astfel patronul va fi interesat sa-si imbunatateasca afacerile si pentru aceasta in preajma lui intotdeauna exista doi consilieri/experţi, un manager si un matematician cu un neostenit apetit pentru aplicatii de optimizare, in sensul ca "intotdeauna este loc de mai bine, mai exact de o imbunatatire". Munca de cercetare aplicativa devine astfel o placere si incet incet devii propriul tau stapan, adica un om liber cu adevarat.
Sa va construiesc acum si un exemplu. Sa presupunem ca sunt angajat la o firma de ambalaje ca specialist in cercetarea aplicativa a matematicii si cu totul intamplator as observa ca pe unele terenuri de tenis ar exista niste cosulete de carton de forma unui con de rotatie bagate unul in celalalt pe verticala pentru a fi folosite la a bea apa de la robinetul unui rezervor cilindric incarcat cu apa racita cu gheata si pe alte terenuri ar exista si niste capace cu care s-ar acoperi etans cosuletul plin cu apa rece pentru a bea mai tarziu pe drum dupa ce pleci. Desi cele doua tipuri de cosulete (cele fara capac si cele cu capacul atasabil) sunt realizate din acelasi material si au aceeasi forma, totusi suprafata cartonului folosit difera de la un tip de cosulet la celalalt. Tinand seama ca in realizarea cosuletului firma la care lucrez trebuie sa faca economie de material in conditiile unui volum constant dat de client, m-am gandit instantaneu la o problema de extrem a carei rezolvare in ambele situatii ne-ar conduce la doua solutii care sigur vor fi diferite in ceea ce priveste unghiul intre raza bazei si generatoarea corespunzatoare. Intreb pe "preafericitul" nostru, caruia "matematica i s-a parut floare la ureche", dupa cum zice mai sus, ce-i trece prin cap pentru a ne explica din punct de vedere socio-uman rostul diferentei intre cele doua tipuri de coşuleţe care, desi sunt realizate din acelasi material si au aceeasi forma (con de rotatie) si volum, totusi au dimensiuni diferite in solutia de optim?!
"Rostul diferentei" intre cele doua tipuri de coşuleţe consta in faptul ca desi volumul amandorura este constant, suprafata minima in primul caz (fara capacel) se realizeaza cand
si in cel de-al doilea caz (cu capacel) se realizeaza cand . Modelul matematic este problema de extrem PE0 care apare aici cu solutiile in fiecare din cele doua situatii.

X : Nimeni nu poate sa faca mai mult decat stie!
EU : Corect. Insa rareori se intampla ca cineva sa recunoasca ca nu se pricepe la ceea ce nu stie. C-asa-i românu', "nevoia" il invata sa fure
"meserie" astfel incat sa ajunga sa creada ca se pricepe la toate, ceea ce este stupid. Dintr-un "meserias" este foarte greu sa faci un om
"priceput la toate", in schimb "cimpanzeul" viseaza zi si noapte sa devina patronul unei biblioteci sau a unui anticariat pe Podul Mogoşoaiei.

Va propun mai jos trei probleme si va rog sa apreciati cat la suta dintre elevii de liceu, fie ei si in clasa a XII - a, reusesc in de secunde sa dea raspunsul
oral la fiecare dintre aceste probleme. Nu se accepta intrebari din partea elevilor. Problemele le-am cules din manualele de matematica ale nepotilor mei.

PP1 (clasa a VI - a). Intr-un cerc se considera o coarda fixa si pentru un punct mobil se construieste
coarda care este perpendiculara pe in punctul . Sa se demonstreze ca este constantă.

Demonstratie. Am ramas dator cu o "demonstratie" pentru elevi. Presupunem fara a restrange generalitatea (f.r.g.) ca dreapta separa punctele si . Cautam mai intai valoarea constantei prin considerarea atat a cazului limita al coardei mobile cand trece prin punctul si taie din nou cercul in punctul cat si a cazului limita cand coarda trece prin punctual si taie din nou cercul in punctul . Apare astfel dreptunghiul inscris in cercul dat . Sa ne imaginam acum ca n-am fi folosit condeiul si ne-am fi "gandit" direct la dreptunghiul prin procesul descris mai sus. Daca , atunci prin simetrie si , unde este mijlocul comun al segmentelor si iar , adica . Deci - distanta centrului fix la coarda fixa . In concluzie, este constanta si egala cu dublul distantei de la centrul al cercului dat la coarda fixa , i.e. *

PP2 (clasa a X - a). Sa se determine multimea numerelor complexe care verifica relatia .

Demonstratie. este distanta intre punctele , din planul complex, unde , sunt afixele punctelor , respectiv. Asadar, pentru avem si
, unde in stanga originii. Ecuatia devine si (usor) , adica .



Application. Let be the roots of the equation , where is a parameter. Ascertain the values of for which .

Proof. For and obtain that . Denote the points
. Therefore, . Nice exercise !

PP3 (clasa a IX - a). Sa se construiasca un cerc tangent exterior unui cerc fix si care trece prin doua puncte fixe si (cel mult doua solutii).

Proof. Construim un cerc secant cercului in si care trece prin si Notam si din construim tangentele la cercul Notam si punctele de tangenta.
Deci este tangent la cercul circumscris lui , mai exact acest cerc este tangent cercului Analog
se arata ca cercul circumscris triunghiului este tangent aceluiasi cerc In concluzie, cercurile circumscrise triunghiurilor si sunt solutiile problemei de constructie.

George (<= click). Da, dar voi nu intelegeti un lucru! Acum voi ati terminat scoala si nu va puteti imagina cum gandeste un copil de clasa a VI-a in zilele noastre. Putini copii mai muncesc pentru ca tentatiile sunt prea mari, de aceea ne mandrim cu cei care muncesc, dar un copil de clasa a VI-a care are in cap ce cere programa scolara nu poate intelege asa ceva. Asa ca pentru ei s-ar prefera o rezolvare mai simpla, daca exista una, daca nu, problema poate fi plasata la un nivel mai inalt, cum ar fi olimpiada judeteana unde o putem lasa copiilor ce muncesc. Si daca tot suntem aici, vreau sa va spun un caz. Un copil de clasa a VI-a anul trecut, la olimpiada judeteana, a rezolvat foarte repede subiectul de la clasa lui. Prin urmare, a cerut subiectul de la clasa a VII-a si l-a rezolvat complet. Acesta, la festivitatea de premiere a fost nominalizat la locul I la clasele 6 si 7 cu maxim de puncte.

Omer Cerrahoglu (<= click). Probabil ca e vorba de mine, nu? Daca da, atunci e putin diferit, eu doream de la inceput
sa le fac pe cele de a 7-a ... (În toamna anului 2014 a intrat ca student la Massachusetts Institute of Technology).

EU (<= click). Daca tu esti acela, atunci iti dau un sfat de care sa tii seama in viata. Sa presupunem ca te-ai angajat la o firma sau intr-un institut de cercetare aplicativa si primesti o sarcina pe care trebuie sa o realizezi intr-un an, de exemplu. Tu, baiat istet, o faci mai repede, in cinci luni. Aici ai de ales : ori te duci la sef si-i spui ca esti "gata", ori taci si daca seful te va intreba "cum merge lucrarea" tu sa ii raspunzi "merge, merge, inca nu-i gata, dar sunt aproape". In prima varianta, seful te va felicita, dar sigur data viitoare termenele de realizare vor deveni de sase luni, adica ai devenit un spargator de norme de munca, mai rau decat un spargator de greva. In a doua varianta, in timpul ramas liber te poti ocupa, de exemplu, de teza de doctorat sau de orice altceva, dar cu condeiul in mana si o foaie de hartie in fata, ca seful tau tot nu va intelege, crezand ca te ocupi de tema. Iti rezervi astfel timp si pentru inovatii/inventii. Daca ai de gand sa faci cercetare fundamentala, atunci lucrurile se schimba. Mergi pe prima varianta/alternativa. In general este bine ca nu toti sa stie, si mai ales sefii, ceea ce stii tu in plus. De exemplu, daca ai talent la desen sau stii o limba straina sau stii informatica si seful tau stie acest lucru, fara ca asemenea cunostinte sa intre in fisa postului tau de munca, te asigur ca la nevoie te va solicita sa realizezi si asemenea treburi, insa de data aceasta gratuit. De exemplu, vin niste straini in vizita si te va chema seful sa-i insotesti pe post de translator de cand au sosit si pana cand vor pleca. Sau te va solicita sa proiectezi si sa realizezi niste desene pentru reclama produselor firmei etc. Te asigur ca vei pierde cateva zile bune de altceva. In concluzie, in exprimare folclorica, sa-ti "vinzi" scump marfa intelectuala, adica "pielea".

@ George. Eu nu am spus ca fiecare copil nu lucreaza, ci ca sunt destul de putini cei care intr-adevar se gandesc de pe acum la viitor. Si sa stiti ca sfatul domnului
profesor este de tinut minte. Unii nu lucreaza pentru ca nu-si dau seama cand si cum se vor complica lucrurile ca apoi sa le para rau ca n-au lucrat la timp !

Va invit aici pentru a va convinge ca un elev fara imaginatie va deveni in viata un yesman, chiar daca are o memorie plina de formule si aplicate la locul de munca. Scoala, in afara de educatia elevilor si insusirea unor cunostinte uzuale, are menirea esentiala de a le dezvolta imaginatia, cel mai indreptatit combustibil pentru propria creatie. Altfel in viata nu va fi in stare sa-si construiasca vreo parere plauzibila si personalizata in domeniul public sau privat. Sa nu va surprinda ca in caz contrar vom ajunge ca notiunea de "sclav intelectual" sa domine piata muncii. Recomand (indeosebi colegilor mei) problemele propuse de la P0.0 la P0.13 (situate in prima jumatate a paginii). După părerea mea, cea mai reuşită dintre acestea este P0.11. Lectură plăcută !

In ultimii 26 de ani strategia optimizarii invatamantului preuniversitar a ajuns sa consfinteasca prostul obicei de a invata pe dinafara (fara justificare, fara demonstratie etc etc) formule, relatii, teoreme, rezultate etc etc si aplicarea acestora pana la "sufocarea" elevului doar prin schimbarea constantelor care apar in ipoteza. Mai apare si extrema cealalta de a le oferi elevilor talentati unele "tehnici "tari", evident, tot fara demonstratie insa din alte motive (demonstratia acestor "tehnici" depaseste nivelul de cunostinte chiar si ale unor profi), asa zise "bombe atomice" care nu sunt altceva decat un "doping" pentru "a strivi o musca sau un future". In concluzie, este un mare "pacat" de a enunta o teorema sau chiar de a folosi o formula fara a cunoaste sau a citi/invata macar odata demonstraţia acesteia.

@ X. "Nu poți dezvolta fantezia unui elev prezentându-i spre rezolvare exerciții al căror enunț îi rămân o limbă străină”. Corect, trebuie sa fii inconştient (eu zic chiar "idiot") sa ai asemenea ambitii. Dezvoltarea imaginatiei elevului (imi displace cuvantul "fantezie") trebuie sa insoteasca permanent (de la prima intalnire pana la "despartire") discursul didactic care trebuie adaptat la nivelul mediu (pe rezultanta) de intelegere a clasei iar pregatirea elevilor sa se faca fara intreruperi in acest spirit. Un profesor care a ajuns sa nu se mai bucure de frumusetea unei demonstratii sau de utilitatea in predare a acesteia este ca un vizitator ratacit intr-un atelier de pictura si care se minuneaza de ceea ce vede pe pereti fara a sti ce tehnici miraculoase a folosit artistul. In matematica exista cateva structuri logice pe care le folosim deseori fara a ne da seama si pe care am ajuns sa le numim 'trucuri". De exemplu, va enunt primul "truc" universal din zece cate cunosc - "reproducerea integralului din partial". Il intalnim peste tot in matematica (algebra, geometrie, analiza - limite si integrare prin parti etc) si nu numai. Voi consacra curand in blogul meu o pagina cu exemple care sa ilustreze aceasta structura, o primitivă a gandirii omenesti.
M.M. Din teorema Sinusurilor, avem Se stie ca Folosind relatia cunoscuta
obtinem

V.N. Draguta demonstratie, mult mai simpla decat cea pe care o foloseam eu. Insa in prealabil trebuie dovedita relatia care implica ori extinderea de la primul cadran la semicerc, adica relatia ori teorema Cosinusurilor. De fapt relatia este exprimarea trigonometrica a teoremei Ptolemeu ! Intr-adevar, referindu-ne la doua unghiuri din primul cadran (dupa aceea se poate extinde la orice doua unghiuri dupa procedeul cunoscut), consideram un cerc de diametru unde si punctele astfel incat dreapta separa , si , Se observa ca din definitia lui SIN si COS pe primul cadran si Astfel, teorema Ptolemeu aplicata patrulaterului inseamna adica

Observatie. Relatia este ea insasi echivalenta cu teorema Ptolemeu ! Consideram diametrul in cercul circumscris al Din
se obtine


@ Z.S. Problemele propuse de mine pe acest forum sunt culese sau imi apartin si se adreseaza in exclusivitate colegilor sau elevilor educati in sensul de "a fura meserie" sau "pentru a se descurca singur". Imi face o deosebita placere sa intalnesc probleme care sa imi creeze "probleme". Mi se intampla uneori ca dupa ce o rezolv, sa caut si alte metode ca in cele din urma sa o generalizez pentru a ma intoarce cu situatii particulare, uneori chiar mai interesante decat cea originala. Abia la sfarsit urmeaza o stare de relaxare cu adevarat benefica pentru creier ca dupa un "jogging". Astfel ma eliberez de preocuparile sau obiceiurile domestice (conditii de trai, presa, televizor, internet etc). Cat despre elevii nostri, sa-i lasam pe altadata. Sunt destule site - uri la nivel planetar unde este o placere sa conversezi matematica, sa inveti matematica ca un elev si sa te perfectionezi continuu, fiind chiar profesor. Perfectionarea unui profesor este in primul rand pentru sine si apoi pentru elevi. Fii fericit cand intalnesti elevi talentati care te "storc" ca pe un prosop cu intrebari generate de studiul sau individual, de ajungi sa pleci de la scoala cu "tema pentru acasa". Iata cateva exemple de site - uri si din tara noastra: 1. 2. 3. 4.

Mi-am propus ca din acest moment sa postez probleme insotite de ceea ce trebuie sa stii in plus (dincolo de cunostintele de baza!) pentru a o rezolva. Iata un exemplu  aici unde se folosesc urmatoarele cunostinte: relatiile b∙cos C + c∙cosB = a etc ; inegalitatea s^2 + 5r^2 ≥ 16Rr (notatiile sunt standard). Observatie. Urmariti cu atentie sublinierile multiple din enuntul problemei pentru a vi se "trezi" nelipsitul si inevitabilul  spirit de observatie. Mult succes! Pentru a gasi o solutie in detaliu a acestei probleme, dati un click pe secventa "P19" din ultimul rand al semnaturii mele.

Ma gandesc la neputinta unor oameni de a trai civilizat, mai ales in a pastra curatenia locului unde-si petrec timpul liber. Pe alei in parcuri sau pe trotuare sunt o sumedenie de banci de odihna la distanta de cel putin cinci metri intre ele si insotite fiecare de cate un cos in jurul caruia sunt risipite fara jena coji de seminte sau mucuri de tigara. Nu mai vorbesc de pungi cu resturi menajere stivuite in jurul acestora. Ma gandesc la acei oameni angajati de primarie care in fiecare dimineata fac curatenie pe alei si strazi pe banii nostri. Oare chiar nu se pot sanctiona cei care sub ochii nostri savarsesc asemenea abateri de la o conduita civilizata sau cei care nu respecta regulile mentionate la tot pasul pe tot soiul de pancarde la intrarea intr-un parc?!

O scoala in care de ani de zile tot profesorii sunt cei care fac de serviciu si directorul continua sa aleaga un profesor pentru a face orarul este o scoala in care numai "scoala" nu se face. Ma intreb si eu cand min. inv. va fi in stare sa angajeze 2/3 oameni de serviciu/supraveghere pentru fiecare scoala si o echipa de "functionari" din min. inv. sa realizeze odata pentru totdeauna un program informatic universal pentru orarul oricarei scoli. Pana atunci pe "respectabilul" user Cornel nu-l deranjeaza a presta "munca patriotica". Pana atunci ramane un anonim "sclav intelectual". Ii recomand Paul Lafargue: "Dreptul la lene" (<= click).

"Disputa" intre noi mi-a lasat un gust amar si cu parere de rau am remarcat ca nu aveti suficienta experienta pentru a folosi cu grija imperativele gen "trebuie", "indiferent ca iti place sau nu", "ca este legiferat sau nu", "Ca să-ți faci datoria de dascăl nu îți trebuie o lege specială publicată în MO" fara a intelege ca "a face orarul" sau "a face de serviciu pe scoala" nu intra in datoria de dascal, mai exact nu intra in contractul de munca. Se pare ca nu ati lucrat inca in conditiile unui contract individual de munca care trebuie respectat de ambele parti. Sa presupunem ca v-ati angajat la o firma sau intr-un institut de cercetare aplicativa si primiti o sarcina pe care trebuie sa o realizati intr-un an, de exemplu. Dvs., istet cat "cuprinde", o faceti mai repede, in cinci luni. Aici aveti de ales : ori va duceti la sef sa-i spuneti ca sunteti "gata", ori taceti si daca seful va intreba "cum merge lucrarea", dvs. sa-i raspundeti "merge, merge, inca nu-i gata, dar sunt aproape". In prima varianta, seful va va felicita, dar sigur data viitoare termenele de realizare vor deveni de sase luni, adica ati devenit un spargator de norme de munca, mai rau decat un spargator de greva. In a doua varianta, in timpul ramas liber va puteti ocupa, de exemplu, de teza de doctorat sau de orice altceva, dar cu condeiul in mana si o foaie de hartie in fata, ca seful dvs. tot nu va intelege, crezand ca va ocupati de tema. Va rezervati astfel timp si pentru inovatii/inventii. Daca aveti de gand sa faceti cercetare fundamentala, atunci lucrurile se schimba. Mergeti pe prima varianta/alternativa. In general este bine ca nu toti sa stie ceea ce stiti dvs. in plus sau la ce va pricepeti competitiv, mai ales sefii sa nu stie. De exemplu, daca aveti talent la desen sau stiti o limba straina sau stiti informatica si seful dvs. stie aceste lucruri, fara ca asemenea cunostinte sa intre in fisa postului dvs. de munca, va asigur ca la nevoie va va solicita sa realizati si asemenea treburi, insa de data aceasta gratuit. De exemplu, vin niste straini in vizita si va va chema seful sa-i insotiti pe post de translator de cand au sosit si pana cand vor pleca. Sau va va solicita sa proiectati si sa realizati niste desene pentru reclama produselor firmei etc. Va asigur ca veti pierde cateva zile bune, chiar saptamani pentru altceva mai rentabil. In concluzie, in exprimare folclorica, sa-ti "vinzi" scump pielea", adica marfa intelectuala in acest caz. Poate altadata avem ocazia sa discutam de "respectul fata de profesor" la alte popoare in comparatie cu ingratitudinea din Romania. O seara frumoasa!