16. Length of the (interior) angle bisector (10 proofs).
by Virgil Nicula, Apr 20, 2010, 2:55 AM
Sa dau cateva detalii relativ la aceasta problema. Cu multi ani in urma la clasa a IX - a dupa prima saptamana de scoala am dat un test de verificare a cunostintelor
de la gimnaziu prin care "masuram" (din punctul meu de vedere) nivelul de pregatire al elevilor pe care ii "adoptasem" pentru a ramane impreuna pana la terminarea
liceului. Rezultatele de la "treapta I - a" erau semnificative, insa pentru mine nu erau suficient de concludente. Mare mi-a fost surpriza ca la aceasta problema sa gasesc
printre lucrari cateva solutii (unele folosind chiar simple elemente de trigonometrie), care mai de care mai frumoase. Le-am pastrat si recent am dat intamplator peste ele.
PP1. Prove that the length
of the interior 
-angled bisector in 
is given by the relation 
.
Method 1 (Mihai). Let
and 
.
Method 2 (Emil). Let
. Prove easily that 
and 
.
Method 3 (Ioan). Let
. Prove easily that 
and 
.
Method 4 (Dan). Let
for which 
. I"ll use the relations 
and
. Thus ![$[ABC]=[DAB]+[DAC]\ \Longrightarrow\ bc\cdot\sin 2x=$](//latex.artofproblemsolving.com/4/8/0/48052c4157709b378e094653454860d8bc2ae94d.png)
.
Another proofs for the 
class.
Method 5 (prof. Constantin Mateescu). Suppose w.l.o.g.
. Denote , 
and 
, 
such that 
and
. Observe that 
and 
. Apply Menelaus' theorem to the transversal 
.
Method 6 (prof. Virgil Nicula). Apply an well-known property
.
Method 7 (prof. Virgil Nicula). Apply the theorem of Sinus in
.
Method 8 (prof. Virgil Nicula). Let circumcircle
of and 
. Thus, 
. The power of 
w.r.t. 
, where 
.
Method 9 (prof. Virgil Nicula). Let so that 
and 
. Thus the trapezoid 
is isosceles and
. But 
. This proof is symetrically in 
, 
.
Method 10. Apply Stewart's relation
Extension.
.
Proof 1.
.
Proof 2.![$[ABC]=[ABD]+[ADC]\Longleftrightarrow bc\cdot \sin A=$](//latex.artofproblemsolving.com/6/f/0/6f029252859f46f918887ca8965856bd05e7541a.png)
.
Remark. Let
, where is the circumcircle of . Then 
is equivalently with 
. If is acute and , then:
, where 
is length of the -altitude 
.
, where 
is the circumcenter of 
.
Concluzie. A fost odata ca niciodata. Programa actuala este departe de a pregati asemenea elevi decat printr-o pregatire suplimentara prin meditatii, consultatii
si in cadrul cercurilor de matematica care nu sunt realizabile in cadrul scolii decat ori obligati la o "munca patriotica" asidua ori gratuit prin dragostea unor profesori
pentru elevii lor, de a-i pregati pentru a face performanta nu numai in matematica, dar si in viata. In unele tari civilizate lucrurile stau altfel. Sunt profesori care in
exclusivitate si in afara orelor din program ori pregatesc elevii care au un talent deosebit intr-un anumit domeniu de studiu ori se ocupa de elevii care au dificultati
in invatare si rezolvarea temelor pentru a doua zi. Toate acestea se realizeaza pe nivele si in clase special amenajate in cadrul scolii. Si aici ma refer nu numai la
matematica, fizica, chimie, literatura etc, dar si la muzica, pictura, educatie fizica (anumite sporturi individuale sau colective) etc. Va recomand cartea profesorului
Bogdan Enescu despre "Arii". Pentru cei de la gimnaziu sau liceu este o adevarata "bijuterie", foarte utila chiar si pentru probleme ceva mai "delicate".
de la gimnaziu prin care "masuram" (din punctul meu de vedere) nivelul de pregatire al elevilor pe care ii "adoptasem" pentru a ramane impreuna pana la terminarea
liceului. Rezultatele de la "treapta I - a" erau semnificative, insa pentru mine nu erau suficient de concludente. Mare mi-a fost surpriza ca la aceasta problema sa gasesc
printre lucrari cateva solutii (unele folosind chiar simple elemente de trigonometrie), care mai de care mai frumoase. Le-am pastrat si recent am dat intamplator peste ele.
PP1. Prove that the length
of the interior 
-angled bisector in 
is given by the relation 
.Method 1 (Mihai). Let
and 
.Method 2 (Emil). Let
. Prove easily that 
and 
.Method 3 (Ioan). Let
. Prove easily that 
and 
.Method 4 (Dan). Let
for which 
. I"ll use the relations 
and
. Thus ![$[ABC]=[DAB]+[DAC]\ \Longrightarrow\ bc\cdot\sin 2x=$](http://latex.artofproblemsolving.com/4/8/0/48052c4157709b378e094653454860d8bc2ae94d.png)
.
Another proofs for the 
class.Method 5 (prof. Constantin Mateescu). Suppose w.l.o.g.
. Denote , 
and 
, 
such that 
and
. Observe that 
and 
. Apply Menelaus' theorem to the transversal 
.Method 6 (prof. Virgil Nicula). Apply an well-known property
.Method 7 (prof. Virgil Nicula). Apply the theorem of Sinus in
.Method 8 (prof. Virgil Nicula). Let circumcircle
of and 
. Thus, 
. The power of 
w.r.t. 
, where 
.Method 9 (prof. Virgil Nicula). Let
so that 
and 
. Thus the trapezoid 
is isosceles and
. But 
. This proof is symetrically in 
, 
.Method 10. Apply Stewart's relation
Extension.
.Proof 1.
.Proof 2.
![$[ABC]=[ABD]+[ADC]\Longleftrightarrow bc\cdot \sin A=$](http://latex.artofproblemsolving.com/6/f/0/6f029252859f46f918887ca8965856bd05e7541a.png)
.Remark. Let
, where is the circumcircle of . Then 
is equivalently with 
. If is acute and , then:
, where 
is length of the -altitude 
.
, where 
is the circumcenter of 
.Concluzie. A fost odata ca niciodata. Programa actuala este departe de a pregati asemenea elevi decat printr-o pregatire suplimentara prin meditatii, consultatii
si in cadrul cercurilor de matematica care nu sunt realizabile in cadrul scolii decat ori obligati la o "munca patriotica" asidua ori gratuit prin dragostea unor profesori
pentru elevii lor, de a-i pregati pentru a face performanta nu numai in matematica, dar si in viata. In unele tari civilizate lucrurile stau altfel. Sunt profesori care in
exclusivitate si in afara orelor din program ori pregatesc elevii care au un talent deosebit intr-un anumit domeniu de studiu ori se ocupa de elevii care au dificultati
in invatare si rezolvarea temelor pentru a doua zi. Toate acestea se realizeaza pe nivele si in clase special amenajate in cadrul scolii. Si aici ma refer nu numai la
matematica, fizica, chimie, literatura etc, dar si la muzica, pictura, educatie fizica (anumite sporturi individuale sau colective) etc. Va recomand cartea profesorului
Bogdan Enescu despre "Arii". Pentru cei de la gimnaziu sau liceu este o adevarata "bijuterie", foarte utila chiar si pentru probleme ceva mai "delicate".
This post has been edited 96 times. Last edited by Virgil Nicula, Jun 23, 2017, 6:10 AM
August 2018
January 2018