248. Pagina instructiva.

by Virgil Nicula, Mar 8, 2011, 8:45 AM

$\bf\color{black}Particular\ quadrilaterals$
$\mathrm{SQUARE}\subset\left\{\begin{array}{c}\mathrm{RECTANGLE}\\\\ \mathrm{RHOMBUS}\end{array}\right\|\subset\mathrm{PARALLELOGRAM}\subset\mathrm{TRAPEZIUM}\ ,$ where $ABCD$ is $:\ \left\{\begin{array}{ccccc} \mathrm{trapezium} & \Longleftrightarrow & AB\parallel CD & \vee & AD\parallel BC\\\\ \mathrm{parallelogram} & \Longleftrightarrow & AB\parallel CD & \wedge & AD\parallel BC\end{array}\right\|\ ;$

$\left\{\begin{array}{cccc} \mathrm{rectangle} & \Longleftrightarrow & \mathrm{parallelogram\ which\ has\ equally} & \mathrm{two\ neighbouring\ angles}\\\\ \mathrm{rhombus} & \Longleftrightarrow & \mathrm{parallelogram\ which\ has\ equally} & \mathrm{two\ neighbouring\ sides}\end{array}\right\|\ ;\ \mathrm{square}\ \Longleftrightarrow\ \mathrm{rectangle}\ \wedge\ \mathrm{rhombus}$ .

A cyclic convex quadrilateral $ABCD$ $\iff$ $A+C=B+D\ .$ A circumscriptible/tangential convex quadrilateral $ABCD$ $\Longleftrightarrow$ $AB+CD=AD+BC\ .$

From all parallelograms, only rectangle is cyclic. From all parallelograms, only rhombus is circumscriptibly. From all trapeziums, only isosceles trapezium is cyclic.

Remarks: direction "angle" $\implies$ cyclic quadrilateral, isosceles trapezium, rectangle and square $;$ direction "side" $\implies$ circumscriptible quadrilateral, rhombus and square.

See two aplications at here. See PP4 & PP5 from here and search here.

Observatie. Aceste definitii apartin fostului meu profesor de matematica de la gimnaziu. Ele pleaca firesc de la "genul proxim" prin "diferenta specifica" catre diverse cazuri particulare care nu-i altceva decat constructia unei multimi prin selectarea elementelor acesteia pe baza unei proprietati. Constructia de altadata a matematicii se realiza de la general spre particular (de la o multime la o submultime a acesteia) si nu invers. A intelege drumul de la general la particular este cu mult mai simplu decat a intelege drumul de la particular la general. Primul drum se cheama "particularizare" si este la indemana oricui, in timp ce al doilea drum se numeste "generalizare" si nu oricine poate oferi o generalizare. Concluzie. Se intampla uneori ca intr-o competitie sa existe jucatori atat de "penibili" incat, fara sa-si dea seama, fac jocul adevesarului. Cine poate fi "adversarul"? Oricare dintre cei cu care suntem in competiţie la nivel planetar.

Problema propusa. Fie cercurile $w=\mathbb C\left(O,r\right)$ si $w_k=\mathbb C\left(O_k,r_k\right)$ , $k\in \{1,2\}$ astfel incat $\left\{\begin{array}{ccc} O_1O_2 & > & r_1+r_2\\\\ OO_1 & = & r+r_1\\\\ OO_2 & = & r+r_2\end{array}\right\|\ .$ Fie $M\in w_1$ , $N\in w_2$ astfel incat $MN$ este o tangenta

exterioara comuna pentru cercurile $w_1$ si $w_2$ . Notam punctele $P\in w\cap w_1$ si $R\in w\cap w_2$ . Sa se arate ca patrulaterul $MNRP$ este inscriptibil si $MN\cap PR\cap O_1O_2\ne\emptyset\ .$

Demonstratie. Notam $\left\{\begin{array}{ccccc} m\left(\widehat{O_1MP}\right) & = & m\left(\widehat{O_1MP}\right) & = & x\\\\ m\left(\widehat{O_2NR}\right) & = & m\left(\widehat{O_2RN}\right) & = & y\\\\ m\left(\widehat{OPR}\right) & = & m\left(\widehat{ORP}\right) & = & z\end{array}\right\|\ .$ Se arata usor ca unghiurile lui $MNPR$ au valorile $\left\{\begin{array}{ccc} M=90-x & ; & N=90-y\\\\ P=180-x-z & ; & R=180-y-z\end{array}\right\|\$

si $M+R=270-(x+y+z)=N+P$ , adica $MNPR$ este un patrulater inscriptibil. Notam $L\in O_1O_2\cap MN$ si observam ca $O_1M\parallel O_2N\iff$ $\frac {LO_1}{LO_2}=\frac{MO_1}{NO_2}$ , i.e.

$\boxed{\frac {LO_1}{LO_2}=\frac {r_1}{r_2}}\ (*)\ .$ Aplicam teorema lui Menelaus la $\triangle O_1OO_2$ si punctelor $L\in O_1O_2$ , $P\in OO_1$ si $R\in OO_2\ :\ \frac {LO_1}{LO_2}\cdot\frac{RO_2}{RO}\cdot\frac {PO}{PO_1}=\frac {r_1}{r_2}\cdot\frac {r_2}r\cdot\frac r{r_1}=1\iff L\in PR\ .$

Aplicatie. Sa se construiasca un cerc $w=\mathbb C\left(O,r\right)$ tangent cercurilor disjuncte $w_1=\mathbb C\left(O_1,r_1\right)$ , $w_2=\mathbb C\left(O_2,r_2\right)$ si trece printr-un punct fix $K\ .$

Proof. Voi folosi aceleasi notatii ca in problema precedenta. Problema de constructie in general are cel mult patru solutii. Vom cauta una dintre ele si anume cercul $w$ tangent exterior celor doua cercuri disjuncte mentionate in enunt. Notam $\{L,S\}=\{L,K\}\cap w$ , adica cercul $w$ taie a doua oara dreapta $LK$ in punctul $S\ .$ Se observa ca $LS\cdot LK=LP\cdot LR=$ $LM\cdot LN\implies$ $LS\cdot LK=LM\cdot LN$ , adica punctul $S$ devine fix prin intersectia dreptei $LK$ cu cercul circumscris triunghiului $MNK\ .$ Astfel problema noastra devine constructia unui cerc $w$ tangent unui cerc, de exemplu $w_1$ , si care trece prin punctele $S$ si $K\ .$ Vedeti aici problema propusa PP3.

$\mathrm{END}$ $\bf\color{black}Formule\ de\ calcul\ prescurtat.$ Se pot defini inca de la clasa a VIII - a notiunile "expresii omogene" sau "expresii simetrice" in doua variabile $a$ si $b$ care se pot exprima in functie de suma si produsul lor: $S=a+b$ si $P=ab$ . Se tin minte mai usor identitatile in exprimare simetrica si omogena. Pentru $(a+b )^2=(a^2+b^2)+2ab$ putem afla usor $a^2+b^2=S^2-2P$ . Deci "suma la patrat este egala cu suma patratelor la care se adauga de doua ori produsul lor". Pentru $(a+b )^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b )$ putem afla usor $a^3+b^3=S^3-3PS$ . Deci "suma la cub este egala cu suma cuburilor la care se adauga de trei ori produsul intre suma si produs". Ne propunem ca exemplu sa aflam expresiile $a^4+b^4$ si $a^5+b^5$ pentru $S=a+b=2$ si $P=ab=-1$ . Asadar $:$

$\left\{\begin{array}{cccc} \mathrm{Pas\ 1\ :} & a^2+b^2=S^2-2P=4-2(-1)=6 & \implies & a^2+b^2=6\\\\ \mathrm{Pas\ 2\ :} & a^3+b^3=S^3-3PS=2^3-3(-1)2=14 & \implies & a^3+b^3=14\end{array}\right\|$ . Suma cuburilor se mai poate obtine altfel $:$

$a^3+b^3=(a^2+b^2)(a+b )-ab(a+b )\implies$ $a^3+b^3=6\cdot 2-(-1)2=14\implies a^3+b^3=14$ . Putem continua in doua moduri $:$

Continuare I $:\ \left\{\begin{array}{cccc} \mathrm{Pas\ 3.1.\ :} & a^4+b^4=(a^2)^2+(b^2)^2=[a^2+b^2]^2-2(ab)^2=6^2-2(-1)^2=34 & \implies & a^4+b^4=34\\\\ \mathrm{Pas\ 4.1.\ :} & a^5+b^5=(a^4+b^4)(a+b )-ab(a^3+b^3)=34\cdot 2-(-1)14=82 & \implies & a^5+b^5=82\end{array}\right\|$ .

Continuare II $:\ \left\{\begin{array}{cccc} \mathrm{Pas\ 3.2.\ :} & a^4+b^4=(a^3+b^3)(a+b )-ab(a^2+b^2)=14\cdot 2-(-1)6=34 & \implies & a^4+b^4=34\\\\ \mathrm{Pas\ 4.2.\ :} & a^5+b^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2 )-(ab)^2(a+b )=14\cdot 6-2=82 & \implies & a^5+b^5=82\end{array}\right\|$ .

Exprimarile pentru $(a-b )^2$ si $(a-b )^3$ nu trebuie neaparat memorate daca interpretam $:\ \left\{\begin{array}{c} (a-b )^2=[a+(-b )]^2=a^2+(-b )^2+2a(-b )=a^2+b^2-2ab\\\\ (a-b )^3=a^3+(-b )^3+3a(-b )[a+(-b )]=a^3-b^3-3ab(a-b )\end{array}\right\|$ .

@ Z. Corect, exemplele alese de tine (doctori, topografi) sunt foarte bune pentru a mentiona ca sunt si momente sau situatii in viata cand "toceala" nu este de neglijat, mai ales la debut intr-o meserie sau pentru executanti docili. Exista insa si alta cale pentru a memora. Pe parcursul meseriei, dupa o folosinta repetata in practica de zi cu zi a cunostintelor, acestea in cele din urma vor fi memorate usor, de la sine. Aceste cunostinte vor avea tendinta de a deveni "obiceiuri" si se vor adauga in timp la bagajul de "instincte" sau "reflexe" cu care ne-a inzestrat "mama Natura". Profesorul nu are de unde sti ca unii elevi vor deveni soldati sau topografi. El trebuie sa-i pregateasca ca in orice imprejurare sa gandeasca si sa inteleaga inlantuirea noilor cunostinte si nu fiecare izolata. Creierul altfel functioneaza intr-o furtuna de sinapse decat unul care in doi timpi si trei miscari fara nici o explicatie decat evidenta si asa zisul bun simt ("se vede domle, nu vezi ca sunt paralele" etc etc) a ajuns la rezultat. Am mai spus si alta data, calea prin care in procesul didactic se obtin cunostinte noi este un combustibil de calitate pentru "motorasul" numit creier. Altfel, va rugini si va deveni curand neted, uneori chiar periculos prin erori sau stangacii, fiind util doar pentru executanti docili, gen soldati sau "roboti" intelectuali.
$\mathrm{END}$ $\bf\color{black}Rezolvarea\ unei\ ecuatii\ de\ gradul\ 2\ cu\ coeficienti\ reali.$ @ Z. In general nici eu nu am nevoie de vreun algoritm si imi incarc memoria cu formule numai daca nu-mi place "joaca" de mai jos. Ne vom "juca" acum cu rezolvarea ecuatiei de gradul doi printr-un lant de intrebari si raspunsuri. Putem presupune fara grija de a restrange generalitatea ca ecuatia de gradul doi are coeficientul dominant egal cu $1$ (altfel, se poate imparti ecuatia prin coeficientul dominant).

$1\blacktriangleright$ Cand produsul a doi factori este egal cu zero ? $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Formati cea mai simpla ecuatie de gradul II cu radacinile $x_1$ si $x_2$ . $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Ce observati ?

Raspuns. Produsul a doi factori este nul daca si numai daca cel putin un factor este nul, adica $mn=0\iff m=0$ sau $n=0\ .$ $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Am format ecuatia $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$ care devine $x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1x_2=0$ , adica $x^2-Sx+P=0$ , unde $S=x_1+x_2$ , $P=x_1x_2$ . $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Deci termenul liber este produsul $P$ si coeficientul lui $x$ este opusul sumei $S\ .$

$2\blacktriangleright$ Formati ecuatia cu radacinile $4$ si $-5$ . $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Rezolvati ecuatiile $x^2-5x+6=0$ si $x^2+5x-14=0$ . $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Formati instant ecuatia cu radacinile $4$ si $-5\ .$

Raspuns. Ecuatia cautata este $(x-4)(x+5)=0\ ,$ adica $x^2+x-20=0\ .$ $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Se observa ca $x_1+x_2=5$ si $x_1x_2=6\ .$ Gasim usor ca acestea sunt $2$ si $3\ .$ Similar pentru cea de-a doua ecuatie avem $x_1+x_2=-5$ si $x_1x_2=-14\ .$ Deoarece produsul este negativ inseamna ca $x_1\ ,\ x_2$ sunt de semne contrare, adica suma devine o diferenta. Cautam mai intai doua numere cu produsul $14$ si diferenta $5\ .$ Obtinem usor $2$ si $7\ .$ In final, cele doua radacini sunt $-7$ si $2\ .$ Aici apare prima dificultate. Este recomandabil ca in pragul unei dificultati sa cautam, sa gandim un alt procedeu, o alta metoda. Sa incercam altfel, o "ghicitoare". Oare vedem un numar care verifica ecuatia data?! Incercati. Eu l-am gasit repede. Numarul $1$ nu este, $-1$ nici atat, dar uite ca $2$ este radacina, $2^2+5\cdot 2-14=0\ .$ Si gata, cum produsul este $-14$ rezulta instantaneu ca cea de-a doua radacina este $-7\ .$ $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Deci $S=4+(-5)=-1$
si $P=4\cdot (-5)=-20\ .$ Deci ecuatia cautata este $x^2-Sx+P=0\implies$ $x^2-(-1)\cdot x+(-20)=0\implies x^2+x-20=0\ .$

$3\blacktriangleright$ Rezolvati asemanator ecuatia $x^2+7x-3=0$ . $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ Rezolvati ecuatia $x^2+mx+n=0\ ,$ unde $m$ si $n$ sunt numere reale date.

Raspuns. Se observa ca $x_1+x_2=-7$ si $x_1x_2=-3\ .$ Vom cauta mai intai $x_1$ si $x_2$ in multimea numerelor intregi. Se vede ca $x_1$ si $x_2$ sunt de semne contrare. Presupunem ca $x_1\le x_2$ . In acest caz $x_1< 0<x_2$ si apar doar doua perechi, $\{-1,3\}$ si $\{-3,1\}$ care nu verifica relatia $x_1+x_2=-7$ . Suntem in dificultate, incercam altceva. N-ar fi rau daca am reusi sa gasim o relatie intre $x_1$ si $x_2$ mai simpla decat $x_1x_2=-3\ ,$ de exemplu diferenta $(x_1-x_2)\ .$ Intr-adevar, din ceea ce stim, putem afla $x_1-x_2$ astfel: $\left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2\ .$ Incep sa tremur de emotie ... $\left(x_1-x_2\right)^2-12=49\iff \left(x_1-x_2\right)^2=61\iff$ $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{61}\ .$ Putem presupune ca $x_1\ge x_2\ .$ Obtinem astfel sistemul $x_1+x_2=-7$ si $x_1-x_2=\sqrt{61}$ care se rezolva usor etc. $\blacktriangleleft\blacktriangleright$ In acest moment un elev mediu poate deduce singur celebra formula cu ajutorul careia se rezolva ecuatia de gradul II cu coeficienti reali. Notam radacinile $x_1$ si $x_2$ si "citim" $x_1+x_2=-m$ si $x_1x_2=n\ .$ Similar exemplului concret precedent aflam $x_1-x_2$ astfel $:\ \left(x_1-x_2\right)^2+4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2\ ,$ adica $\left(x_1-x_2\right)^2+4n=m^2\iff \left(x_1-x_2\right)^2=m^2-4n\ .$ Apare o intrebare, daca $\Delta\equiv m^2-4n$ este negativ. Daca-i negativ, atunci nu exista $x_1$ si $x_2\ ,$ adica ecuatia data nu are radacini reale. Cu atat mai bine, pun mai repede creionul jos. Daca $\Delta\ge 0\ ,$ atunci putem presupune ca $x_1\ge x_2\ ,$ adica $x_1+x_2=-m$ si $x_1-x_2=\sqrt \Delta$ . Deci $x_1=\frac {-m+\sqrt\Delta}2$ si $x_2=\frac {-m-\sqrt\Delta}2$ . In concluzie, ecuatia $x^2+mx+n=0$ are radacini reale $\iff$ "discriminantul" $\Delta=m^2-4n\ge 0$ si in acest caz radacinile sunt $\left\{x_1,x_2\right\}=\left\{\frac {-m\pm\sqrt\Delta}2\right\}$ . Daca $\Delta =0$ , atunci radacinile sunt egale, adica $x_1=x_2=-\frac m2\ .$ In general, ecuatia $ax^2+bx+c=0$ are radacini reale $\left\{x_1,x_2\right\}\implies\boxed{ax^2+bx+c\equiv a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)}$ .

Observatie. Se arata usor ca $4a\left(ax^2+bx+c\right)+\left(b^2-4ac\right)=(2ax+b)^2$ , adica $f(x)=ax^2+bx+c\implies$ $\boxed{4af(x)+\Delta=(2ax+b)^2}$ , unde $\Delta =b^2-4ac$ . Deducem usor proprietatea ca $(\exists )\ \alpha\in\mathbb R$ so that $af(\alpha )\le 0\implies$ $\Delta\ge 0\implies$ $\left\{x_1,x_2\right\}\subset\mathbb R$ . Ideea fundamentala care a condus la obtinerea formulei de calcul al radacinilor unei ecuatii de gradul doi este identitatea $\boxed{\left(x_1-x_2 \right)^2+4x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2}\ (*)$ (de la clasa a VI - a). Asta-i singura idee de tinut minte din intreaga "lectie" sustinuta mai sus.

Comentariu. Da, parca-i mai usor sa o tin minte stiindu-i demonstratia. Insa acum am o sansa in plus, daca o uit, o pot deduce usor ceea ce imi da siguranţă si ma deosebeste de ceilalti care din comoditate isi odihnesc creierul ca pe un motor care n-a mai functionat de multa vreme. Stie toata lumea ca in acest caz motorul rugineste. Si mai este ceva. Dincolo de bacalaureat nu mai tinem minte multe teoreme si formule din mate, formule si legi ale fizicii sau compozitii chimice etc insa ramanem cu chipul profesorului de la tabla care pentru ungerea "motorasului" nostru nu a folosit decat uleiuri de calitate, numite "stiinte". De exemplu mate, fizica, chimie, biologie, geografie or mai fi si altele, insa nu le cunosc chiar pe toate. Insa toate aceste "stiinte" daca fac frontiera cu alte domenii, de exemplu economie, medicina, astronomie etc pot contribui la dezvoltarea lor mai rapida. In general cercetarea unui domeniu devine o stiinta numai daca legile care guverneaza domeniul respectiv se exprima prin relatii matematice.

Remarcabil apelul unui coleg, uşor imbunatatit: "Dragi colegi, nu mai faceți copiii să "tocească", altfel vor ajunge sa nu gandeasca sau sa se vaiete ca este greu". Despre asta este vorba de un sfert de veac incoace. Aceasta "boala" straveche de a "toci" neuronii marunt, marunt precum verdeata de pus in ciorba sau de presarat intr-o supa a devenit cronica in ultimul timp cuprinzand in tocator pana si matematica, logica, filosofia si toate cele care se numesc "stiinte". Am oferit un exemplu de "lectie" mai sus ("rezolvarea ecuatiei de gradul 2") unde elevul in cele din urma va reusi singur sa demonstreze o formula celebra de secole care altfel ar fi fost "memorata" prin exercitii idioate (diferind intre ele doar prin coeficientii numerici) si dupa patru ani sa fie uitata pentru totdeauna sau inca sa-i mai dea cosmaruri. Ca incheiere, sincer imi exprim o parere de rau, nu am predat niciodata la gimnaziu.
$\mathrm{END}$
$\bf\color{black}Rezolvarea\ unei\ inecuatii\ bilaterale\ peste\ R.$ Lemma 1. $(\forall )\ \{a,b\}\subset\mathbb R$ there is the chain of equivalencies $:\ x\in [a,b]\cup [b,a]\iff (x-a)(x-b)\le 0\iff \left|x-\frac {a+b}2\right|\le \frac{|a-b|}2\iff |x-a|+|x-b|=|a-b|$

Lemma 2. Let $f(x)=ax^2+bx+c$ with $\{a,b,c\}\subset \mathbb R$ , where $a\ne 0$ . Then $\left\{\begin{array}{cccccc} (\exists ) & \alpha\in\mathbb R & \mathrm{so\ that} & a\cdot f(\alpha )\le 0 & \implies & \Delta\ge 0\\\\ (\exists ) & \{\alpha ,\beta\}\subset\mathbb R & \mathrm{so\ that} & f(\alpha )\cdot f(\beta )\le 0 & \implies & \Delta\ge 0\end{array}\right\|$

Example 1. Prove that $(\forall )\ x\in\mathbb R\ ,\ x\ne \frac 23$ exists the equivalence $1<\frac {2x+1}{3x-2} <3\iff 1<x<3$ .

Proof. $1<\frac {2x+1}{3x-2}<3\iff$ $\left(1-\frac {2x+1}{3x-2}\right)\left(3-\frac {2x+1}{3x-2}\right)<0\iff$ $(x-3)(x-1)<0\iff 1<x<3$ .

Example 2. Prove that $(\forall )\ x\in\mathbb R\ ,\ |\sin x+\cos x|\le \sqrt 2\ \mathrm{and}\ (\forall )\ x\in\left[0,\frac {\pi}2\right]\ ,\ 1\le \sin x+\cos x\le \sqrt 2\ .$

Proof. $\left\{\begin{array}{ccccccccc} x\in\mathbb R & : & |\sin x+\cos x|\le \sqrt 2 & \iff & (\sin x+\cos x)^2\le 2 & \iff & 1+\sin 2x\le 2 & \iff & \sin 2x\le 1\\\\ 2x\in [0,\pi ] & : & 1\le \sin x+\cos x\le \sqrt 2 & \iff & 1\le (\sin x+\cos x)^2\le 2 & \iff & 1\le 1+\sin 2x\le 2 & \iff & 0\le \sin 2x\le 1\end{array}\right\|$ what is truly.

Example 3. Denote $f(x)=\frac {x^2-x+1}{x^2+x+1}$ , where $x\in\mathbb R$ . Prove that $\frac 13\le f(x) \le 3\ ,\ (\forall )\ x\in\mathbb R$ and $\mathbb Im(f)=\mathbb Pr_{Oy}\mathbb{G}_f=\left[\frac 13,1\right)\cup (1,3]$ . See here.

Example 4. $\{a,b,c,d\}\subset \mathbb R$ so that $a<b<c<d$ and $\{A,B,C\}\subset\mathbb R^*_+$ $\implies$ $\left\{\begin{array}{c} h(x)=A(x-b)(x-c)+B(x-c)(x-a)+C(x-a)(x-b)=0\\\\ g(x)=(x-a)(x-c)+2(x-b)(x-d)=0\end{array}\right\|$ have real roots.

Proof. First equation has coefficient $A+B+C>0$ of $x^2.$ Thus, $\left\{\begin{array}{ccccc} h(a)=A(a-b)(a-c)>0\\\\ h(b)=B(b-c)(b-a)<0\\\\ h(c)=C(c-a)(c-b)>0\end{array}\right\|$ $\implies$ $\left\{\begin{array}{ccc} h(a)h(b)<0 & \implies & (\exists )\ x_1\in (a,b)\ \mathrm{so\ that}\ h\left(x_1\right)=0\\\\ h(b)h(c)<0 & \implies & (\exists )\ x_2\in (b,c)\ \mathrm{so\ that}\ h\left(x_2\right)=0\end{array}\right\|$

In conclusion, exists $\left\{x_1,x_2\right\}\subset\mathbb R$ so that $a<x_1<b<x_2<c$ and $h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)=0\ ,$ i.e. the equation $h(x)=0$ has two real roots.

Second equation has coefficient $3>0$ of $x^2.$ Thus, $\left\{\begin{array}{ccccc} g(a)=2(a-b)(a-d)>0\\\\ g(b)=(b-a)(b-c)<0\\\\ g(c)=2(c-b)(c-d)<0\\\\ g(d)=(d-a)(d-c)>0\end{array}\right\|$ $\implies$ $\left\{\begin{array}{ccc} g(a)g(b)<0 & \implies & (\exists )\ x_1\in (a,b)\ \mathrm{so\ that}\ g\left(x_1\right)=0\\\\ g(c)g(d)<0 & \implies & (\exists )\ x_2\in (c,d)\ \mathrm{so\ that}\ g\left(x_2\right)=0\end{array}\right\|$

In conclusion, exists $\left\{x_1,x_2\right\}\subset\mathbb R$ so that $a<x_1<b<c<x_2<d$ and $g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\ ,$ i.e. the equation $g(x)=0$ has two real roots.

Remark. $h(x)=\sum A(x-b)(x-c)=$ $\sum A\left[x^2-x(b+c)+bc\right]=$ $x^2\cdot \sum A-x\cdot\sum A(b+c)+\sum Abc$ . Thus, $\Delta =\left[\sum A(b+c)\right]^2-4\cdot\sum A\cdot\sum Abc=$

$\sum A^2(b+c)^2+2\sum BC(a+b)(a+c)-4\cdot\sum A^2bc-4\cdot\sum BCa(b+c)=$ $\sum A^2\left[(b+c)^2-4bc\right]+2\cdot\sum BC\left[(a+b)(a+c)-2a(b+c)\right]=$ $\sum A^2(b-c)^2+$

$2\cdot \sum BC(a-b)(a-c)=$ $\left(B|a-c|+C|a-b|+A|b-c|\right)^2-4AC|(b-a)(b-c)|\ge$ $(A|b-c|+C|b-a|)^2-4AC|(b-a)(b-c)|=(A|b-c|-C|b-a|)^2\ge 0$
$\mathrm{END}$
$\bf\color{black}Schema\ lui\ Horner.$ Pe vremuri predam la clasa a X - a si "inversa schemei lui Horner", adica "determinarea polinomului monic de grad $n>1$ care are ca radacini $n$ numere date". La ora actuala acest "Horner la putere $(-1)$ " se face in multe tari ale lumii in timp ce in Romania daca se cunoaste pe ici, pe colo. Apropo, cum găsiţi informatic polinomul de grad $n>1$ ale carui radacini sunt niste numere date ? Ganditi si veti obtine raspunsul la "inversa schemei lui Horner". Aveti posibilitatea sa "ghiciti" algoritmul general de determinare a polinomului de grad $n>1$ cu $n$ radacini date din cazul particular prezentat mai jos pentru $n=4$ si radacinile $1,2,3,4$ unde aveti si verificarea, adica ... schema lui Horner ! De fapt "inversa schemei lui Horner" este adevarata "schema a lui Horner" care serveste la aflarea polinomului de interpolare Lagrange. Schema directa a lui Horner serveste la gasirea unei posibile radacini $f(\alpha)\stackrel{?}{=}0$ sau la o translatie in variabila independenta, adica evaluarea $f(x+\alpha)$ pentru $\alpha$ dat.

Here is an example for the application of the Horner's sketch (inverse and direct), where $n:=9$ and the roots are $x_k=k\ ,\ k\in\overline{1,9}$ .

$\boxed{\begin{array}{cccccccccccc} 1 & \parallel & 1 & & & & & & & & & \\\ 2 & \parallel & 1 & -1 & & & & & & & & \\\ 3 & \parallel & 1 & -3 & 2 & & & & & & & \\\ 4 & \parallel & 1 & -6 & 11 & -6 & & & & & & \\\ 5 & \parallel & 1 & -10 & 35 & -50 & 24 & & & & & \\\ 6 & \parallel & 1 & -15 & 85 & -225 & 274 & -120 & & & & \\\ 7 & \parallel & 1 & -21 & 175 & -735 & 1624 & 1764 & 720 & & & \\\ 8 & \parallel & 1 & -28 & 322 & -1960 & 6769 & -13132 & 13068 & -5040 & & \\\ 9 & \parallel & 1 & -36 & 546 & -4536 & 22449 & -67284 & 118124 & -109584 & 40320 & \\\ = & = & = & == & == & ==== & === & ===== & ==== & ===== & ===== & =====\\\ * & \parallel & 1 & -45 & 870 & -9450 & 63273 & -269325 & 723680 & -1172700 & 1026576 & -362880\\\ = & = & = & == & == & ==== & === & ===== & ==== & ===== & ===== & =====\\\ 9 & \parallel & 1 & -36 & 546 & -4536 & 22449 & -67284 & 118124 & -109584 & 40320 & \\\ 8 & \parallel & 1 & -28 & 322 & -1960 & 6769 & -13132 & 13068 & -5040 & & \\\ 7 & \parallel & 1 & -21 & 175 & -735 & 1624 & 1764 & 720 & & &\\\ 6 & \parallel & 1 & -15 & 85 & -225 & 274 & -120 & & & & \\\ 5 & \parallel & 1 & -10 & 35 & -50 & 24 & & & & & \\\ 4 & \parallel & 1 & -6 & 11 & -6 & & & & & & \\\ 3 & \parallel & 1 & -3 & 2 & & & & & & & \\\ 2 & \parallel & 1 & -1 & & & & & & & & \\\ 1 & \parallel & 1 & & & & & & & & &\end{array}}$

PP4. Să se schiţeze schema logică şi să se scrie textul sursă program pentru determinarea unui polinom monic de grad $n>0$ ale cărui rădăcini reale $x_k$ , unde $k\in\overline{1,n}$

sunt date, folosind numai un vector $v$ de lungime $n+1$ , o singură locaţie $t$ de transfer si doi contori $i$ si $k$ astfel incat in vectorul $v$ sa apara coeficientii polinomului cautat.

Raspuns. Schema logica (algoritmul) apare in tabloul de jos-stanga (intr-un limbaj de comunicare). De exemplu, polinomul de gradul $4$ ale

carui radacini sunt $\{\ 1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ 4\ \}$ si care este obtinut prin acest algoritm numit "inversa schemei Horner" apare in tabloul de jos-dreapta.

$\boxed{\ \left\{\begin{array}{cc} \mathrm{ENTER\ :} & v_1=1\ ;\ v_i=x_{i-1}\ (\forall )\ i\in\overline{2,n+1}\ ;\ k=2\\\\ P_1. & t=v_k\ ;\ v_k=0\ ;\ i=k\\\\ P_2. & \mathrm{IF}\ i=1\ \mathrm{THEN}\ k=k+1\ \mathrm{GO\ TO}\ P_3\\\\ \odot & \boxed{v_i=v_i-t\cdot v_{i-1}}\ ;\ i=i-1\ \mathrm{GO\ TO}\ P_2\\\\ P_3. & \mathrm{IF}\ k\ne n+2\ \mathrm{THEN\ GO\ TO}\ P_1\\\\ \mathrm{EXIT\ :} & v_k\ ,\ k\in\overline{1,n+1}\end{array}\right\|\Longleftarrow\ \bigodot\ \mathrm{Schema\ HORNER\ (inversa)\ }\blacktriangleleft ::\blacktriangleright\ \mathrm{Exemplu:\ }\ \bigodot\ \implies\left|\begin{array}{ccccccc} \ \downarrow t\ \wedge\ \vec v & \parallel & 1 & 4 & 2 & 3 & 1\\\\ ===== & \parallel & == & == & == & == & ==\\\\ 4 & \parallel & 1 & -4 & 0 & & \\\\ 2 & \parallel & 1 & -6 & 8 & 0 & \\\\ 3 & \parallel & 1 & -9 & 26 & -24 & 0\\\\ 1 & \parallel & 1 & -10 & 35 & -50 & 24\end{array}\right|}$

Observaţie. Sa presupunem de exemplu ca radacinile date sunt ${1,2,3,4}\ .$ Atunci polinomul $P$ poate fi determinat astfel:

$1.\blacktriangleright$ Elevul din clasa $\mathrm{a\ VII}\ -\ a\ :\ P=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)=$ $[(X^2-5X)+4][(X^2-5X)+6]=$

$[(X^2-5X)^2+10(X^2-5X)+24]\implies$ $\boxed{P=X^4-10X^3+35X^2-50X+24}\ .$

$2.\blacktriangleright$ Elevul din clasa $\mathrm{a\ X}\ -\ a\ :\ s_1=1+2+3+4=10\ ;\ s_2=$ $1.2+1.3+1.4+2.3+2.4+3.4=35\ ;\ s_3=$ $1.2.3+1.2.4+1.3.4+2.3.4=50\ ;$

$s_4=$ $1.2.3.4=24$ . In concluzie, polinomul cautat este $P=X^4-s_1X^3+s_2X^2-s_3X+s_4$ , adica $\boxed{P=X^4-10X^3+35X^2-50X+24}\ .$

$3.\blacktriangleright$ Elevul din clasa $\mathrm{a\ VII}\ -\ a$ si care ştie bine informatică: va folosi metoda dinamic-inductivă, adica: "cel ce cunoaste prima zi a universului şi descoperă o recurenţă pentru a trece de la o zi la alta, atunci va cunoaşte întreaga veşnicie". Daca de exemplu, radacinile date sunt numerele naturale de la 1 la 100 , atunci cel care va folosi ultima metoda in realizarea textului sursa program va fi cu mult mai performant (nu numai in timp de executie , dar si in resurse de memorie) decat primii doi care vor face o mare risipa , atat de timp cat si de memorie. Performanta in informatica se masoara altfel decat cea din matematica, prin timp de executie si spatiu de memorie. Succes !
$\mathrm{END}$ Reiau aici o postare de ieri care se potriveste ca o mănusă: "Mă amuză tot felul de prostii (<= click) de pe net care tind să devină "vorbe înţelepte" în funcţie de numărul vizitatorilor
şi like - urilor înregistrate". Am lucrat multi ani in modelare matematica, cercetare operationala si probleme de extrem la un institut de cercetare bine cotat la nivel european (I.P.A.Tc.)
Iată aici cateva probleme de extrem la nivel de treapta I - a de altadata (clasele a IX - a si a X - a de azi) unde apar si cateva probleme practice.
Exemplu. Presupunem ca eu sunt patronul unei fabrici de bere si pentru a o distribui pe piata am nevoie de cutii metalice in care sa incapa exact un litru de bere, stabilind in prealabil forma cilindrica a cutiei. Apoi apelez la o firma de confectionat ambalaje pentru a realiza cutiile de volum mentionat. Ce va face patronul?! Cheltuielile lui depind in exclusivitate de materialul folosit si suprafata totala a cilindrului. Evident ca patronul doreste ca aceste cheltuieli sa fie minime in ipoteza "volum constant al cutiei" si al pretului materialului respectiv pe piata etc etc. Apeleaza la un matematician sa-i rezolve problema de extrem. Matematicianul in prima faza realizeaza modelul matematic care nu este altceva decat enuntul primei probleme de aici (<= click) si in faza a doua va cauta instrumentele matematice care in final ii va rezolva problema, adica sarcinile de serviciu. Asta DA "matematica aplicata". La scoala am eu grija ca la teste sa le dau cel putin o problema de mate aplicata pentru a-i convinge, uneori chiar instantaneu, sa "aleaga" matematica. Mai este vreunul care nu doreste sa aleaga matematica ?! Daca da, in urmatoarea postare vor fi trei probleme de matematica aplicata. Voi continua asa intr-o progresie aritmetica cu ratie 2 pana cand o tara intreaga va alege matematica. Am uitat sa va spun rezultatul, este de-a dreptul spectaculos. Pentru cheltuieli minime ar trebui ca diametrul bazei sa fie egal cu generatoarea cilindrului. Nu-i asa ca este fantastic, precum cutia de ness de altadata ?! De fapt la clasa problema aceasta se numeste "problema cutiei de ness".
$\mathrm{END}$ $\bf\color{black}Prin\ ce\ se\ deosebeste\ matematica\ de\ celelalte\ discipline.$ X: In cat timp crezi ca o persoana care chiar vrea poate sa invete matematica de la 0 ? Asa cam cat pana la nivelul de clasa a 12-a

EU: In invatarea matematicii nu ţin prostioarele de tipul "daca vrei, poţi". Iti mai trebuie ceva zestre de la "mama natura", noi ii spunem "chemare" sau vocatie, ca in orice domeniu artistic, ca in actul predarii la catedra, ca in medicina, ca in consilierea unor persoane etc. Numai ca spre deosebire de acestea, matematica este o forma artistica de exprimare a gandirii omenesti. Exista matematicieni, "artisti" remarcabili care nu au neaparat studii temeinice in domeniu. De exemplu, Evarist Galois la 22 de ani (pe vremea exilarii lui Bonaparte; dupa puţini ani moare intr-un duel !), fara studii deosebite, a descoperit rezolvarea ecuatiilor prin radicali din care s-a dezvoltat ulterior teoria grupurilor si celebra "teorie a lui Galois". Si ca sa-ti raspund totusi la intrebare, iti trebuie cam tot atatia ani, adica 12, daca vrei sa o pornesti de la zero. A o face de mantuiala este timp pierdut si poti avea nesansa ca peste putina vreme sa te compromiţi. Matematica nu are sinonime, cuvinte alunecoase, interpretari maliţioase, este pumnalul rece al silogismului. A face matematica inseamna a fi precum un bijutier, a dăltui si a şlefui un diamant. Este un univers nemarginit si atemporal monstruos de tautologic, ca o imagine in multiple oglinzi paralele. Te poti exprima in multiple limbaje despre aceeasi problema si/sau solutia ei. Este rotunda (perfecta !) de milenii.

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/d50672fa9f70c9eb4124f6b5f09baca5f12e33b4_zpstijoiwmy.png

$\mathrm{END}$ $\bf\color{black}Articolul\ 253\ sfideaza\ competitia.$
Fantastic, cat de nedreapta poate fi o lege care sfideaza competiţia! N-am stiut pana acum de existenta acestui art. 253. Câtă nesimţire poate dovedi un legiuitor ... Nu este altceva decat legalizarea unei "ilegalitati", de a nu scoate la concurs catedrele libere pentru ca nu cumva să le ocupe altcineva. Chiar sunt curios sa aflu cine-i autorul unei asemenea discriminari. Intreb si eu care a fost atitudinea sindicatelor in momentul aparitiei unei asemenea legi?! Propun ca toti cei care s-au titularizat cu art. 253 sa fie invitati la vara intr-o frumoasa statiune contracost pentru a sustine din nou examenul de titularizare.

$\blacktriangleleft\mathrm{B_1}\blacktriangleright\ :\ "$ Unii se simt mai titulari pentru că au luat post în ședință publică și asta e marea realizare a vieții lor și
le e ciudă, că noi cei care ne-am titularizat pe baza acelui articol de lege, ne-am stabilit la școala la care am vrut $"$ .

$\blacktriangleleft\mathrm{B_2}\blacktriangleright\ :\ "$ Nu ne este ciuda (lool, ce penibil), dar ne simtim mult mai bine ca n-am intrat pe ... usa din dos. Pomanagiilor! Marea
realizare a voastra care e? Ca a venit PDL si v-a dat o pomana, altfel dadeati examene si acum. Si tot voi cu coada sus. Rusinica $"$ .

Citindu-i pe cei doi colegi, gandurile imi zboara la Păcală si Tândală, dar si pentru ca in dupa amiaza aceasta am simtit nevoia sa trec prin piaţă. Mi-a placut intotdeauna sa ma targuiesc cu fermierii si in consecinta nu ratez in niciun weekend o iesire la piata, chiar si in State. Oridecateori ma intorc in tara primul drum il fac la piata pentru a-mi incarca frigiderul si constat ca lumea se schimba pe zi ce trece, privirile celor de dincolo de tarabe sunt iscoditoare, te urmaresc si masoara care iti este "pretul" pentru a te incadra in marja lui de eroare, mai exact de "pacaleala". Intre asemenea oameni traiesti cu teama de a fi inconjurat de indivizi care te privesc din cap pana-n picioare pentru a-ti afla slabiciunile si cand reusesc, vezi cum li se citeste pe chip bucuria ca te vor pacali si pentru ca bucuria sa fie deplina deja isi inchipuie ca cel pacalit va avea un sentiment de ciuda, ma rog, mai pe nemteste exprimat, va avea ghinion. Si iata ca am ajuns si la sfarsit ... Romania a devenit ţara lui Păcală si Tândală si "Ionica al lui Stefan al Petrei" a anticipat la milimetru "Marea Pacaleala". Asta seara am avut placerea sa asist la un spectacol reusit.

Acum n-ar trebui sa judecam oamenii, ci sa judecam legea care legalizeaza o "ilegalitate". Practic de cele mai multe ori un om gandeste ca ar fi fraier daca nu ar folosi o lege, chiar si atunci cand aceasta ar nedreptati pe altii. Responsabilitatea si-o asuma in exclusivitate legiuitorul si nu beneficiarul legii respective. De aceea si exista avocatii care cunosc foarte bine legile, mai ales fisurile acestora printre care isi "strecoara" pledoaria. O lume concurentiala genereaza uneori vrajba, invidie etc numai acolo unde o lege are fisuri, mai exact nu a cuprins toate cazurile posibile ceea ce este omeneste posibil. Eu zic sa ne impreunam mainile si sa nu mai acceptam pe viitor legi "partinitoare" ci numai cele general aplicabile. • Petrecere frumoasă ! • V N •

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/1be871c4-0b07-40f9-aa8f-0c8c4148a199_zps0cd1be68.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/8a6910e1-e422-4582-ada2-42be129a3326_zps393ce18b.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/fb31008f-eccc-468f-b3fd-4b9af3c1238c_zpsed118a2f.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/ad0dca90-42f5-431e-89bf-3ffb96bbcdd0_zpsc5jffiai.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/Yakima%202001%20-%202008/6bf86bf4-61b9-477f-97ee-67eeff3eecfb_zpsc77dccea.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/b17975c6-9158-43c2-9d8e-c8ec0145f938_zpsc80bcff3.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/133c8377-a0b3-4bef-a9c1-fdb868a8dc59_zps3a34a81c.jpg

http://i944.photobucket.com/albums/ad288/GemenLeu/3a2225ef-3ff4-4d5b-8d30-8f381206b1fc_zpsebe43e9f.jpg

Ce inseamna a fi creator?! Sa-l intrebam ("citim") pe Ken ROBINSON, autorul cartii "O lume iesita din minti". Un raspuns imediat se cuvine a veni
de la sine: "a reproduce integralul din partial" - prima lege a creatiei. Vom ilustra prima lege a creatiei prin cateva exemple intalnite in matematica:

1. Intr-o problema de geometrie: o constructie auxiliara care sa "intregeasca" o figura cunoscuta ale carei proprietati le stim si le
putem folosi bine, poate reduce substantial demonstratia problemei. Uneori elevii chiar intreaba "cum v-a venit ideea, dle profesor?!".

2. Sa presupunem ca cerem cu anticipatie elevilor de clasa a VII - a (care nu au invatat inca ecuatia de gradul doi) sa gaseasca doua numere reale x & y pentru care stim
suma 10 si produsul 18. Un "act creator" ar fi acela cand elevul ar "intregi" sistemul dat la unul de gradul intai cu doua necunoscute. De exemplu sa afle, daca se poate,
diferenta intre x & y. Deoarece stim suma lor si cateva identitati algebrice, atunci incercam sa aflam (x-y)^2=(x+y)^2-4xy, adica (x-y)^2=100-72=28. Asadar |x-y|=2sqrt7.
Putem presupune fara a restrange generalitatea ca x este cel putin egal lui y. Asadar sistemul x+y=10 & x-y=2sqrt7 este agreabil si are solutia {x,y}={5±sqrt7}.

3. In analiza matematica de clasa a XI - a: la limite de siruri/functii se foloseste foarte frecvent aceasta "lege". De exemplu vrem sa aflam
limita cand x tinde la 0 pentru functia f(x)=sinxsin2x/(1-cos x). Stim ca sinx/x->1 & (1-cosx)/(x^2)->1/2. Vom "intregi" cele doua limite
cunoscute in functia f astfel: f(x)=[(sinx)/x]•[(sin2x)/(2x)]•[(2x^2)/(1-cosx)] si prin trecere la limita se obtine 1•1•2•2=4.

4. In analiza matematica de clasa a XII - a: la capitolul "primitive" se foloseste "metoda integrarii prin parti" care nu este altceva decat "intregirea" derivatei unui
produs: (fg)'=f'g+fg' etc. Voi continua sa ilustrez "actul de creatie" prin aceasta "lege" si in alte domenii de cercetare/proiectare care sa diminueze unele situatii critice.

This post has been edited 577 times. Last edited by Virgil Nicula, Jan 11, 2019, 6:15 PM

Comment

0 Comments

Submit

orzzzzzzzzz
by mathMagicOPS, Jan 9, 2025, 3:40 AM
this css is sus
by ihatemath123, Aug 14, 2024, 1:53 AM
391345 views moment
by ryanbear, May 9, 2023, 6:10 AM
We need virgil nicula to return to aops, this blog is top 10 all time.
by OlympusHero, Sep 14, 2022, 4:44 AM
blog
by tigerzhang, Aug 1, 2021, 12:02 AM
Amazing blog.
by OlympusHero, May 13, 2021, 10:23 PM
the visits tho
by GoogleNebula, Apr 14, 2021, 5:25 AM
Bro this blog is ripped
by samrocksnature, Apr 14, 2021, 5:16 AM
Holy- Darn this is good. shame it's inactive now
by the_mathmagician, Jan 17, 2021, 7:43 PM
godly blog. opopop
by OlympusHero, Dec 30, 2020, 6:08 PM
long blog
by MrMustache, Nov 11, 2020, 4:52 PM
372554 views!
by mrmath0720, Sep 28, 2020, 1:11 AM
wow... i am lost.

369302 views!

-piphi
by piphi, Jun 10, 2020, 11:44 PM
That was a lot! But, really good solutions and format! Nice blog!!!!
by CSPAL, May 27, 2020, 4:17 PM
impressive
awesome. 358,000 visits?????
by OlympusHero, May 14, 2020, 8:43 PM
Nice blog.
The element of Mathematics is dense here.
I love the style of your posts.
Thanks for writing the blog! I can learn Geometry from here too.
by epsilonist, Jun 27, 2011, 6:00 AM
Thank you very much for this blog.
by Affine, May 7, 2011, 6:20 PM
You seem to have solved every existing problem.
by Goutham, May 2, 2011, 10:59 AM
I love your posts, man (those which I understand)! It's interesting how you punish integrals with recurrence relations and sometimes make seemingly unrelated integrals evaluate each other!
by Caspar, Apr 11, 2011, 2:36 PM
Thank you a lot dear Virgil for an interesting and instructive blog.
by vittasko, Mar 12, 2011, 9:42 AM
Interesting Blog
by ShahinBJK, Mar 12, 2011, 5:07 AM
Interesant, d-le Nicula.
by silent_control, Mar 3, 2011, 6:00 PM
Yours is the largest blog full of math equations as far as I have known! Congrats!
by Goutham, Jan 30, 2011, 2:06 PM
15001th view.
by fries4guys, Jan 20, 2011, 4:57 PM
Thanks to all !
by Virgil Nicula, Dec 11, 2010, 8:32 PM
El_Ectric:
You can either copy some parts from the blog post, paste it at "Search Blogs" (which is lower on the page, after "Blog Stats") and find the whole post.

You're welcome.
by Thomas_, Dec 8, 2010, 6:42 PM
Thanks Thomas_.
by El_Ectric, Dec 8, 2010, 4:21 PM
El_Ectric: Try to open this blog with Internet Explorer (browser). If it still doesn't work, just copy the post you're interested in, and than paste it into Word Document, or almost any kind of reading documents and you'll have all the details.

Nice blog!
by Thomas_, Nov 24, 2010, 4:59 PM
Dear Virgil !

Congratulations for this blog !
Babis stergiou - Greece
by stergiu, Nov 12, 2010, 6:15 AM

72 shouts

My (math)blog

248. Pagina instructiva.

by Virgil Nicula, Mar 8, 2011, 8:45 AM

0 Comments